Sa loi asymptotique, sous H 0 , est la loi du khi-deux à (r − 1)(s − 1) degrés
de liberté. On a noté n i. =
s
j =1
n ij et n . j =
r
i =1
n ij les effectifs marginaux.
La région critique de ce test est de la forme :
D n C
Pour un risque de première espèce α = P (D n C|H 0 ) , la valeur de C est
approximée par le fractile d’ordre 1 − α de la loi χ
2
(r −1)(s−1) .
Exemple 8.6
Pour comparer l’efficacité de deux médicaments semblables, mais de prix
très différents, la Sécurité sociale a effectué une enquête sur les guérisons
obtenues avec ces deux traitements. Les résultats sont présentés dans le
tableau suivant :
Tests d’hypothèses 265
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Médicament cher
Médicament bon marché
Guérisons
156
44
200
Non-guérisons
44
6
50
200
50
250
On calcule la valeur de la statistique :
D n = 250
156
2
4.10 4 + 2
44
2
10 4 +
6
2
25.10 2 − 1
= 2,5
Pour un risque de première espèce α = 0,05 le fractile d’ordre 1 − α de
la loi χ
2
1 a pour valeur C = 3,84. Puisque la valeur observée de la statistique D n est inférieure, on accepte l’hypothèse nulle d’indépendance du
taux de guérison et du coût du médicament.
À retenir
En dehors du cas particulier où on se donne une loi de probabilité
a priori sur les valeurs du paramètre et où on utilise la méthode de Bayes,
c’est la méthode de Neyman et Pearson qui est utlisée pour effectuer un test
d’hypothèses. Le théorème de Neyman et Pearson fournit l’outil essentiel
pour bâtir un test, c’est-à-dire définir la région où on va rejeter l’hypothèse
nulle retenue. Il est bien entendu essentiel de connaître les définitions précises des différents concepts intervenant dans les tests statistiques. Notons