Exemple 8.5
Dans l’exemple 8.2, nous avons obtenu comme rapport des vraisemblances :
L (x 1 ,...,x n ; θ )
L (x 1 ,. . . ,x n ; θ ′ )
=
θ
′
θ
n
exp
θ − θ
′
θθ ′
n
i =1
x i
Pour toutes les valeurs de θ et θ
′ qui vérifient l’inégalité θ>θ
′ , c’est une
fonction croissante de T n =
n
i =1
x i . Donc, par application du théorème de
Lehmann pour H 0 : θ θ 0 contre H 1 : θ>θ 0 , le test UPP a pour région
critique l’ensemble des points (x 1 ,...,x n ) tels que :
n
i =1
x i > k
La constante k est déterminée par la condition :
α 0 = P
n
i =1
X i > k |θ = θ 0
IV. Test d’indépendance du khi-deux
Pour tester l’indépendance de deux caractères X et Y, qualitatifs ou quantitatifs
(répartis alors en classes), à respectivement r et s modalités, on relève le nombre
n ij d’individus d’une population de taille n =
r
i =1
s
j =1
n ij qui possèdent simultanément la modalité i,1 i r, du caractère X et la modalité j,1 j s, du
caratère Y. Soit p ij la probabilité théorique correspondante, pour un individu tiré
au hasard dans la population, de posséder simultanément ces deux modalités i
et j. Les probabilités marginales sont p i. =
s
j =1
p ij et p . j =
r
i =1
p ij . L’indépendance de ces deux caractères se traduit par l’hypothèse nulle
H 0 : p ij = p i. × p . j . Pour tester cette hypothèse contre l’alternative
H 1 : p ij = / p i. × p . j , on utilise la statistique :
D n =
r
i =1
s
j =1
n ij − n i. n . j /n
2
n i. n . j /n
= n
r
i =1
s
j =1
n
2
ij
n i. n . j
− 1
264 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS