il n’existe pas de test UPP. La région critique W de ce test s’obtient par
réunion des régions critiques W 1 et W 2 des deux tests précédents, pour le
même risque de première espèce
α 0
2
.
Exemple 8.4
Dans l’exemple précédent, la région critique W 1 obtenue était l’ensemble
des points (x 1 ,...,x n ) tels que :
S n C 1
avec 2
C 1
θ 0
qui est le fractile d’ordre 1 −
α 0
2
de la loi du khi-deux à 2n
degrés de liberté. De même, pour le test de H 0 : θ = θ 0 contre H 1 : θ<θ 0
la région critique W 2 obtenue est définie par :
S n C 2
avec 2
C 2
θ 0
qui est le fractile d’ordre
α 0
2
de la loi du khi-deux à 2n degrés
de liberté. La région critique de H 0 : θ = θ 0 contre H 1 : θ = /θ 0 est
W = W 1 ∪ W 2 . Il est plus facile de définir ici la région d’acceptation de
l’hypothèse nulle par la condition :
C 2 S n C 1
Pour le problème de test suivant :
H 0 : θ θ 0
H 1 : θ>θ 0
.
on suppose que la loi P θ est à rapport des vraisemblances monotone. Cela signifie qu’il existe une statistique T n = T n (x 1 ,...,x n ) telle que le rapport des vraisemblances :
L (x 1 ,...,x n ; θ )
L (x 1 ,. . . ,x n ; θ ′ )
s’exprime comme une fonction croissante de T n pour toutes les valeurs de θ et θ
′
qui vérifient l’inégalité θ>θ
′ . Dans ces conditions, on utilise le théorème suivant.
Tests d’hypothèses 263
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Théorème de Lehmann
Il existe un un test UPP dont la région critique W est l’ensemble des points
(x 1 ,...,x n ) tels que :
T n (x 1 ,...,x n ) > k
où la valeur de la constante k est déterminée par le risque fixé
α 0 = P θ (W |θ = θ 0 ) .