La valeur de 2
C
θ 0
est donc celle du fractile d’ordre 1 − α 0 de la loi du khideux à 2n degrés de liberté. La puissance de ce test peut ensuite se calculer par :
η = P
n
i =1
X i C |θ = θ 1
= P
2
S n
θ 1
2
C
θ 1
C. Hypothèses multiples
Nous allons d’abord considérer le cas d’une hypothèse simple contre une hypothèse multiple de l’une des formes suivantes :
H 0 : θ = θ 0
H 1 : θ>θ 0
ou
H 0 : θ = θ 0
H 1 : θ<θ 0
On détermine au préalable, par la méthode de Neyman et Pearson, la région
critique W du test suivant :
H 0 : θ = θ 0
H 1 : θ = θ 1
où θ 1 est une valeur fixée quelconque, mais vérifiant l’hypothèse alternative H 1 .
Si la région W obtenue pour ce test entre hypothèses simples ne dépend pas de
la valeur choisie θ 1 , alors on aura obtenu un test uniformément le plus puissant
(UPP) pour le problème de test initial. Cela signifie que pour toute autre région
critique W
′ on aura P θ (W |θ ∈ 1 ) P θ (W
′ |θ ∈ 1 ) pour tout θ de 1 .
Exemple 8.3
Si nous reprenons l’exemple 8.2, la région critique dépendait de la condition θ 1 >θ 0 , mais pas de la valeur précise θ 1 . La région critique obtenue
est donc aussi celle du test UPP de H 0 : θ = θ 0 contre H 1 : θ>θ 0 .
Cependant, on ne peut pas cette fois calculer la puissance de ce test
puisque la valeur du paramètre n’est pas connue dans l’hypothèse alternative. On peut seulement définir une fonction puissance de ce paramètre
par :
η (θ ) = P
n
i =1
X i C |θ>θ 0
Pour le problème de test suivant :
H 0 : θ = θ 0
H 1 : θ = /θ 0
262 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS