Exemple 8.2
Nous allons appliquer ce théorème au cas de la loi exponentielle de paramètre
1
θ
, avec θ 1 >θ 0 . La vraisemblance a pour expression :
L (x 1 ,...,x n ; θ ) =
1
θ n exp
−
1
θ
n
i =1
x i
avec x i > 0,1 i n. Le rapport des vraisemblances est donc :
L 0 (x 1 ,...,x n )
L 1 (x 1 ,...,x n )
=
θ 1
θ 0
n
exp
1
θ 1
−
1
θ 0
n
i =1
x i
La région critique est donc définie par la condition :
θ 1
θ 0
n
exp
1
θ 1
−
1
θ 0
n
i =1
x i
k
Cette condition est équivalente à :
exp
1
θ 1
−
1
θ 0
n
i =1
x i
k 1
En prenant le logarithme, on obtient comme nouvelle condition équivalente :
1
θ 1
−
1
θ 0
n
i =1
x i k 2
Puisque θ 1 >θ 0 , on arrive à la condition :
n
i =1
x i C
La valeur de la constante C, qui va totalement préciser la région critique, est déterminée par la condition :
α 0 = P
n
i =1
X i C |θ = θ 0
Dans l’exercice 7.7 nous avons établi que 2S n /θ suivait une loi du khideux à 2n degrés de liberté, avec S n =
n
i =1
X i . La condition précédente
se réécrit donc sous la forme :
α 0 = P
2
S n
θ 0
2
C
θ 0
Tests d’hypothèses 261
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