La règle de décision de Neyman et Pearson consiste à déterminer la région
critique W pour laquelle la puissance est maximum, sous la contrainte α α 0 .
Le choix de la valeur de α 0 peut être déterminant quant à la conclusion tirée au
vu d’un échantillon. La valeur standard retenue est α 0 = 0,05. Choisir une
valeur plus faible (par exemple α 0 = 0,01) conduit à exiger des contre-preuves
très fortes pour rejeter H 0 , qui est ainsi admise a priori. Choisir une valeur plus
forte (par exemple α 0 = 0,10) signifie que l’on est moins convaincu a priori de
la validité de H 0 et que l’on est prêt plus facilement à la rejeter au vu des observations.
B. Hypothèses simples
Une hypothèse est qualifiée de simple si la loi de la v.a. X est totalement spécifiée quand cette hypothèse est réalisée. Dans le cas contraire elle est dite multiple. Nous allons examiner le cas où le paramètre θ ne peut prendre que deux
valeurs θ 0 et θ 1 , ce qui correspond au choix entre les deux hypothèses simples
suivantes :
H 0 : θ = θ 0
H 1 : θ = θ 1
Même si cette situation est peu fréquente dans la réalité, de nombreux autres
cas peuvent être résolus à partir de ce cas élémentaire. La forme de la région
critique est alors déterminée par le théorème suivant.
260 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
Définition
On appelle puissance d’un test la probabilité de refuser H 0 avec raison, c’està-dire lorsque H 1 est vérifiée, soit :
η = P θ (D 1 |H 1 ) = P θ (H 1 |H 1 ) = P θ (W |θ ∈ 1 ) = 1 − β
Théorème de Neyman et Pearson
Pour un risque de première espèce fixé à α 0 , le test de puissance maximum
entre les hypothèses simples ci-dessus est défini par la région critique :
W =
(x 1 ,. . . ,x n )
L 0 (x 1 ,. . . ,x n )
L 1 (x 1 ,. . . ,x n )
≤ k
où la valeur de la constante k est déterminée par le risque fixé
α 0 = P θ (W |θ = θ 0 ), ayant posé L 0 (x 1 ,. . . ,x n ) = L (x 1 ,...,x n ; θ 0 )
et L 1 (x 1 ,...,x n ) = L (x 1 ,. . . ,x n ; θ 1 ) .
critique W pour laquelle la puissance est maximum, sous la contrainte α α 0 .
Le choix de la valeur de α 0 peut être déterminant quant à la conclusion tirée au
vu d’un échantillon. La valeur standard retenue est α 0 = 0,05. Choisir une
valeur plus faible (par exemple α 0 = 0,01) conduit à exiger des contre-preuves
très fortes pour rejeter H 0 , qui est ainsi admise a priori. Choisir une valeur plus
forte (par exemple α 0 = 0,10) signifie que l’on est moins convaincu a priori de
la validité de H 0 et que l’on est prêt plus facilement à la rejeter au vu des observations.
B. Hypothèses simples
Une hypothèse est qualifiée de simple si la loi de la v.a. X est totalement spécifiée quand cette hypothèse est réalisée. Dans le cas contraire elle est dite multiple. Nous allons examiner le cas où le paramètre θ ne peut prendre que deux
valeurs θ 0 et θ 1 , ce qui correspond au choix entre les deux hypothèses simples
suivantes :
H 0 : θ = θ 0
H 1 : θ = θ 1
Même si cette situation est peu fréquente dans la réalité, de nombreux autres
cas peuvent être résolus à partir de ce cas élémentaire. La forme de la région
critique est alors déterminée par le théorème suivant.
260 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
Définition
On appelle puissance d’un test la probabilité de refuser H 0 avec raison, c’està-dire lorsque H 1 est vérifiée, soit :
η = P θ (D 1 |H 1 ) = P θ (H 1 |H 1 ) = P θ (W |θ ∈ 1 ) = 1 − β
Théorème de Neyman et Pearson
Pour un risque de première espèce fixé à α 0 , le test de puissance maximum
entre les hypothèses simples ci-dessus est défini par la région critique :
W =
(x 1 ,. . . ,x n )
L 0 (x 1 ,. . . ,x n )
L 1 (x 1 ,. . . ,x n )
≤ k
où la valeur de la constante k est déterminée par le risque fixé
α 0 = P θ (W |θ = θ 0 ), ayant posé L 0 (x 1 ,. . . ,x n ) = L (x 1 ,...,x n ; θ 0 )
et L 1 (x 1 ,...,x n ) = L (x 1 ,. . . ,x n ; θ 1 ) .