La décision D 0 a donc le coût le plus faible si :
ln2 < −
1
2σ 2
3
i =1
(x i − m 0 )
2 − (x i − m 1 )
2
ln2 <
m 0 − m 1
2σ 2
2
3
i =1
x i − 3 (m 0 + m 1 )
La règle de Bayes consiste donc à choisir la décision D 0 dans le cas où :
ln2 < 6 − 5
3
i =1
x i ⇐⇒
1
3
3
i =1
x i <
2
5
−
ln2
15
= 0,353
On retrouve la même règle de décision avec le même seuil critique arrondi qui avait été fixé à la valeur k = 0,35.
III. Méthode de Neyman et Pearson
A. Principe de la règle de Neyman et Pearson
On privilégie l’une des deux hypothèses, par exemple celle que l’on considère
comme la plus vraisemblable, et on la choisit comme hypothèse nulle H 0 . Cette
hypothèse sera celle dont le rejet à tort est le plus préjudiciable. L’autre hypothèse H 1 est l’hypothèse alternative. Il n’y a donc pas de symétrie entre ces deux
hypothèses. L’hypothèse H 0 est privilégiée et il faut des observations très éloignées de cette hypothèse pour la rejeter.
Tests d’hypothèses 259
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Définition
On appelle risque de première espèce la probabilité de rejeter à tort l’hypothèse nulle, soit :
α = P θ (D 1 |H 0 ) = P θ (H 1 |H 0 ) = P θ (W |θ ∈ 0 )
On appelle risque de seconde espèce la probabilité d’accepter à tort l’hypothèse nulle, soit :
β = P θ (D 0 |H 1 ) = P θ (H 0 |H 1 ) = P θ
W |θ ∈ 1
L’erreur la plus grave consistant à rejeter à tort l’hypothèse nulle, la méthode de
Neyman et Pearson fixe une valeur maximum α 0 au risque de première espèce.
Le test est alors déterminé par la recherche de la règle qui minimise l’autre
risque, celui de seconde espèce.