α = 0,05 = P
1
3
3
j =1
I j k |H 0
= P
U
k − 0,3
0,2/
√
3
On obtient ainsi :
k − 0,3
0,2/
√
3
= 1,6449
soit
k = 0,3 +
0,2
√
3
1,6449 = 0,49
L’autre risque a alors pour valeur :
β = P
I < k |H 1
= P
U <
0,49 − 0,5
0,2/
√
3
= P (U < −0,09) = 0,4641
Le risque de relancer à tort est cette fois très élevé. Pour une décision où ce
risque serait considéré comme le plus dommageable, il faudrait fixer le seuil k
par la condition :
β = 0,05 = P (relancer |m = 0,5 ) = P
U <
k − 0,5
0,2/
√
3
On obtient alors comme valeur :
k = 0,5 −
0,2
√
3
1,6449 = 0,31
La règle de décision, déterminée par le seuil, est fortement dépendante du
risque contre lequel on souhaite se prémunir en priorité.
Cet exemple introductif va nous permettre de formaliser un problème général de test. On considère un modèle statistique où la loi de probabilité P θ de la
v.a. X dépend d’un paramètre inconnu θ qui varie dans un sous-ensemble donné
de R. On suppose que cet ensemble est partitionné en deux sous-ensembles
donnés 0 et 1 , auxquels vont être associées les deux hypothèses notées
H 0 : θ ∈ 0 et H 1 : θ ∈ 1 . Construire un test consiste à définir une règle de
décision qui va associer une décision à un échantillon observé (X 1 ,...,X n ) de
la loi de X, les deux décisions possibles étant D 0 : accepter H 0 , et D 1 : accepter
H 1 . À chaque décision correspond une région de R
n , qui va donc être partitionné en deux sous-ensembles W et W , c’est-à-dire que si la réalisation de l’échantillon est un point (x 1 ,...,x n ) de W on décide D 1 , donc on rejette H 0 . Dans le
cas contraire, c’est-à-dire pour un point de W , on décide D 1 , donc on accepte
H 0 .
256 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS