I. Concepts principaux en théorie des tests
Dans le chapitre précédent, nous avons retenu un modèle statistique paramétrique pour décrire de façon simplifiée, mais théorique, un certain phénomène
réel. Les valeurs observées, liées à ce phénomène, sont alors considérées comme
des réalisations d’une variable aléatoire dont la loi est inconnue, mais appartient
à une famille donnée. Cette loi est totalement spécifiée par la connaissance d’un
nombre réel θ, appelé paramètre, et qui permet de repérer précisément l’élément
de cette famille de lois. La théorie de l’estimation fournit les outils permettant
de se faire une idée de la valeur numérique de ce paramètre.
Ici, la théorie des tests va être un outil d’aide à la décision. Dans le cadre du
même modèle, on dispose cette fois de plus d’informations a priori sur le paramètre. Ces informations se traduisent par deux hypothèses seulement sur les
valeurs possibles du paramètre. En fonction des observations, on devra choisir
l’une de ces deux hypothèses. Nous allons montrer, à partir d’un exemple, comment on peut se fixer une règle de décision entre ces deux hypothèses.
Le ministre de l’Économie et des Finances s’interroge pour savoir s’il doit
prendre des mesures de relance de l’économie. Sa décision va être fondée sur les
observations de l’accroissement mensuel de l’indice de la production industrielle. Cet accroissement est mesuré par l’Insee avec une certaine incertitude, ce
qui amène à le considérer comme une v.a. I de loi normale, de moyenne m,e t
d’écart type connu σ = 0,2% . Dans la période antérieure, le paramètre m avait
pour valeur m = 0,5%. En période de récession, on considère que ce paramètre
prend la valeur m = 0,3%. Pour faire un choix entre ces deux valeurs, le
ministre attend de disposer des valeurs de I pour le dernier trimestre. Inquiet de
l’effet de mesures de relance sur l’inflation, il se fixe a priori la règle de décision suivante : si la moyenne des accroissements du trimestre est inférieure à
0,35 % alors je prends des mesures de relance. On peut alors se poser les questions suivantes : est-il possible de mesurer les risques associés à cette règle arbitraire ? peut-on fixer à l’aide de critères objectifs un autre seuil que la valeur
retenue de 0,35 % ?
Le modèle statistique va nous permettre de répondre et d’associer des évaluations numériques à cette règle de décision. La v.a. I appartient ici à la famille
des lois normales, d’écart type connu σ = 0,2. L’autre paramètre de cette loi, la
moyenne m, est inconnu, mais ne peut prendre ici que deux valeurs. Il s’agit
donc de faire un choix entre les deux hypothèses :
H 0 : I N (0,3; 0,2)
H 1 : I N (0,5; 0,2)
Chacune de ces hypothèses a pour conséquence une décision qui lui est associée :
– D 0 : prendre des mesures de relance de l’économie ;
– D 1 : ne rien faire.
254 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
Dans le chapitre précédent, nous avons retenu un modèle statistique paramétrique pour décrire de façon simplifiée, mais théorique, un certain phénomène
réel. Les valeurs observées, liées à ce phénomène, sont alors considérées comme
des réalisations d’une variable aléatoire dont la loi est inconnue, mais appartient
à une famille donnée. Cette loi est totalement spécifiée par la connaissance d’un
nombre réel θ, appelé paramètre, et qui permet de repérer précisément l’élément
de cette famille de lois. La théorie de l’estimation fournit les outils permettant
de se faire une idée de la valeur numérique de ce paramètre.
Ici, la théorie des tests va être un outil d’aide à la décision. Dans le cadre du
même modèle, on dispose cette fois de plus d’informations a priori sur le paramètre. Ces informations se traduisent par deux hypothèses seulement sur les
valeurs possibles du paramètre. En fonction des observations, on devra choisir
l’une de ces deux hypothèses. Nous allons montrer, à partir d’un exemple, comment on peut se fixer une règle de décision entre ces deux hypothèses.
Le ministre de l’Économie et des Finances s’interroge pour savoir s’il doit
prendre des mesures de relance de l’économie. Sa décision va être fondée sur les
observations de l’accroissement mensuel de l’indice de la production industrielle. Cet accroissement est mesuré par l’Insee avec une certaine incertitude, ce
qui amène à le considérer comme une v.a. I de loi normale, de moyenne m,e t
d’écart type connu σ = 0,2% . Dans la période antérieure, le paramètre m avait
pour valeur m = 0,5%. En période de récession, on considère que ce paramètre
prend la valeur m = 0,3%. Pour faire un choix entre ces deux valeurs, le
ministre attend de disposer des valeurs de I pour le dernier trimestre. Inquiet de
l’effet de mesures de relance sur l’inflation, il se fixe a priori la règle de décision suivante : si la moyenne des accroissements du trimestre est inférieure à
0,35 % alors je prends des mesures de relance. On peut alors se poser les questions suivantes : est-il possible de mesurer les risques associés à cette règle arbitraire ? peut-on fixer à l’aide de critères objectifs un autre seuil que la valeur
retenue de 0,35 % ?
Le modèle statistique va nous permettre de répondre et d’associer des évaluations numériques à cette règle de décision. La v.a. I appartient ici à la famille
des lois normales, d’écart type connu σ = 0,2. L’autre paramètre de cette loi, la
moyenne m, est inconnu, mais ne peut prendre ici que deux valeurs. Il s’agit
donc de faire un choix entre les deux hypothèses :
H 0 : I N (0,3; 0,2)
H 1 : I N (0,5; 0,2)
Chacune de ces hypothèses a pour conséquence une décision qui lui est associée :
– D 0 : prendre des mesures de relance de l’économie ;
– D 1 : ne rien faire.
254 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS