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8. Tests
d’hypothèses
O
n appelle théorie des tests la seconde branche de la statistique
mathématique, celle qui permet de confronter deux hypothèses
retenues a priori. Comme dans le cadre d'un problème d'estimation, on retient un modèle statistique où la v.a. X suit une loi de probabilité P θ , qui dépend d'un paramètre θ inconnu. On dispose cependant ici
d'informations supplémentaires qui font penser a priori que la valeur de
ce paramètre est égale à une valeur fixée θ 0 et on cherche à valider (à tester) cette hypothèse, au vu d'un échantillon de la loi de X. Cette hypothèse qui est privilégiée, parce qu'elle paraît la plus vraisemblable a priori, est appelée hypothèse nulle et notée H 0 . Construire un test va consister à partitionner l'ensemble R
n des réalisations possibles du n-échantillon en deux régions, celle où l'on décidera d'accepter H 0 , et celle où
l'on décidera de la rejeter, qui se nommera région critique du test. Pour
délimiter ces deux régions, on fixe a priori une valeur (faible) à la probabilité de l'erreur qui consiste à décider, au vu de l'échantillon, de rejeter
l'hypothèse nulle alors que celle-ci est vérifiée. Cette probabilité se nomme risque de première espèce et sa valeur standard est de 5 %. Lorsque
le paramètre θ ne peut prendre que deux valeurs distinctes θ 0 et θ 1 , c'est
le théorème de Neyman et Pearson qui permet de déterminer la forme
de la région critique, à partir du rapport des vraisemblances associées à
chacune des deux valeurs possibles du paramètre. Dans le cas où on peut
attribuer des probabilités a priori à ces deux valeurs, ainsi que des coûts
d'erreur, on utilise la méthode de Bayes.
Tests d’hypothèses 253
Objectif du chapitre : montrer comment, à partir d'observations indépendantes d'un phénomène, considéré comme aléatoire, on peut
choisir entre deux hypothèses relatives à la valeur du paramètre
qui caractérise la loi retenue dans le modèle.
Concepts clés étudiés : règle de décision, hypothèse nulle, hypothèse alternative, région critique, risque de première espèce, puissance,
méthode de Bayes, méthode de Neyman et Pearson, test UPP,
test du khi-deux.
8. Tests
d’hypothèses
O
n appelle théorie des tests la seconde branche de la statistique
mathématique, celle qui permet de confronter deux hypothèses
retenues a priori. Comme dans le cadre d'un problème d'estimation, on retient un modèle statistique où la v.a. X suit une loi de probabilité P θ , qui dépend d'un paramètre θ inconnu. On dispose cependant ici
d'informations supplémentaires qui font penser a priori que la valeur de
ce paramètre est égale à une valeur fixée θ 0 et on cherche à valider (à tester) cette hypothèse, au vu d'un échantillon de la loi de X. Cette hypothèse qui est privilégiée, parce qu'elle paraît la plus vraisemblable a priori, est appelée hypothèse nulle et notée H 0 . Construire un test va consister à partitionner l'ensemble R
n des réalisations possibles du n-échantillon en deux régions, celle où l'on décidera d'accepter H 0 , et celle où
l'on décidera de la rejeter, qui se nommera région critique du test. Pour
délimiter ces deux régions, on fixe a priori une valeur (faible) à la probabilité de l'erreur qui consiste à décider, au vu de l'échantillon, de rejeter
l'hypothèse nulle alors que celle-ci est vérifiée. Cette probabilité se nomme risque de première espèce et sa valeur standard est de 5 %. Lorsque
le paramètre θ ne peut prendre que deux valeurs distinctes θ 0 et θ 1 , c'est
le théorème de Neyman et Pearson qui permet de déterminer la forme
de la région critique, à partir du rapport des vraisemblances associées à
chacune des deux valeurs possibles du paramètre. Dans le cas où on peut
attribuer des probabilités a priori à ces deux valeurs, ainsi que des coûts
d'erreur, on utilise la méthode de Bayes.
Tests d’hypothèses 253
Objectif du chapitre : montrer comment, à partir d'observations indépendantes d'un phénomène, considéré comme aléatoire, on peut
choisir entre deux hypothèses relatives à la valeur du paramètre
qui caractérise la loi retenue dans le modèle.
Concepts clés étudiés : règle de décision, hypothèse nulle, hypothèse alternative, région critique, risque de première espèce, puissance,
méthode de Bayes, méthode de Neyman et Pearson, test UPP,
test du khi-deux.