On en déduit un intervalle de confiance bilatéral pour θ par la condition :
1 − α = P
−u <
√
n
T n − θ
θ
√
2
< u
où u est approximé par le fractile d’ordre α/2 de la loi normale centrée réduite.
L’intervalle est :
T n
1 + u/
√
2/n
<θ <
T n
1 − u/
√
2/n
Exercice n°15
1) L'espérance se calcule par :
E (X ) =
+∞
−∞
xf (x; θ ) dx =
1
θ
+∞
θ
xexp −
x − θ
θ
dx
On fait alors le changement x − θ = θ u, puis on intègre par parties :
E (X ) = θ
+∞
0
(1 + u) e
−u du = θ
− (1 + u) e
−u
+∞
0
+ θ
+∞
0
e
−u du = 2θ
2) L'estimateur T n de θ obtenu par la méthode des moments est solution de l'équation
en θ :
2θ = X n
Il s'agit donc de T n =
1
2
X n . Il est sans biais par construction :
E (T n ) =
1
2
E
X n
=
1
2
E (X ) = θ
Il est convergent d'après la loi des grands nombres :
X n →
p
E (X ) = 2θ
Donc :
T n =
1
2
X n →
p
1
2
E (X ) = θ
La question de l'efficacité ne se pose pas puisque X prend ses valeurs dans l'intervalle
[θ,+∞[ qui dépend de θ.
3) D'après le théorème central-limite :
√
n
X n − E (X )
σ (X )
→
loi
N (0,1)
On doit calculer la variance de X :
E
X
2
=
1
θ
+∞
θ
x
2 exp −
x − θ
θ
dx
250 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS