On fait alors le changement x − θ = θ u puis on intègre par parties :
E
X
2
= θ
2
+∞
0
(1 + u)
2 e
−u du
= θ
2
− (1 + u)
2 e
−u +∞
0
+ 2θ
2
+∞
0
(1 + u) e
−u du
= θ
2 + 2θ E (X ) = 5θ
2
Ainsi, V (X ) = θ
2 et on obtient :
√
n
X n − 2θ
θ
=
√
n
T n − θ
θ/2
→
loi
N (0,1)
L'estimateur T n suit asymptotiquement la loi normale N
θ,
θ
2
√
n
. On construit donc
un intervalle de confiance bilatéral symétrique, puisque cette loi est symétrique. On peut
trouver la valeur approchée de la constante u telle que :
1 − α = P
−u <
√
n
T n − θ
θ/2
< u
L'intervalle de confiance est alors défini par :
−θ
u
2
√
n
< T n − θ<θ
u
2
√
n
Ce qui est équivalent à :
T n
1 + u/2
√
n
<θ<
T n
1 − u/2
√
n
où u est approximé par le fractile d'ordre 1 −
α
2
de la loi normale standard N (0,1) .
Pour 1 − α = 0,95 on retient la valeur approchée u = 2 ; pour cet échantillon
t 100 = 3,3 d'où l'intervalle 3 <θ<3,67.
Estimation 251
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