Exercice n°14
1) D’après l’exemple 4.13 et la forme de la densité on sait que X et Y suivent des lois
normales centrées et de variances respectives 1 + 4θ et 1 + θ.
On a de plus Cov(X,Y ) =− (1 + 2θ).
D’après la définition de la loi normale vectorielle, X + Y suit une loi normale. Cette loi
est centrée, avec :
V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2 Cov(X,Y ) = θ = E(X + Y )
2
L’estimateur est donc :
T n =
1
n
n
i=1
(X i + Y i )
2
2) Cet estimateur est sans biais et convergent d’après la loi des grands nombres. On sait
également que nT n /θ suit une loi χ
2
n et donc V (T n ) = 2θ
2 /n. Pour savoir s’il est efficace, nous devons calculer la quantité d’information de Fisher. L’expression de la vraisemblance est :
L(x 1 ,y 1 ,...,x n ,y n ; θ) =
n
i=1
f (x i ,y i ) =
1
2π
√
θ
n
exp −
1
2θ
n
i=1
(1 + θ)x
2
i + 2(1 + 2θ)x i y i + (1 + 4θ)y
2
i
La log-vraisemblance s’écrit :
ln L(x 1 ,y 1 ,. . . ,x n ,y n ; θ) =−n ln 2π −
n
2
ln θ
−
1
2θ
n
i=1
(1 + θ)x
2
i + 2(1 + 2θ)x i y i + (1 + 4θ)y
2
i
Cette fonction est dérivable pour tout θ>0 avec :
∂ ln L
∂θ
=−
n
2θ
+
1
2θ 2
n
i=1
(x i + y i )
2
La dérivée seconde est :
∂
2 ln L
∂θ 2 =
n
2θ 2 −
1
θ 3
n
i=1
(x i + y i )
2
La quantité d’information de Fisher est donc :
I n (θ) = E
−
∂
2 ln L
∂θ 2
=−
n
2θ 2 +
1
θ 3
n
i=1
E(X i + Y i )
2 =
n
2θ 2
L’estimateur est donc efficace.
L’intervalle de confiance bilatéral pour θ est obtenu par la condition :
1 − α = P{a < nT n /θ < b}=P
nT n
b
<θ <
nT n
a
a et b étant les fractiles d’ordres respectifs α/2 et 1 − α/2 de la loi χ
2
n .
3) L’application du théorème central limite à T n permet d’obtenir :
√
n
T n − θ
θ
√
2
− −−→
loi
N (0,1)
Estimation 249
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