On voit ainsi que :
1
V
X n
< I n (θ) et
1
V
S 2
n
< I n (θ)
donc aucun de ces estimateurs n’est efficace.
2) Pour construire un intervalle de confiance, nous allons utiliser le fait que (cf. chap. 5,
III, A) :
√
n
X n − θ
S n
T n−1
ce qui permet de déterminer les valeurs de a et b telles que :
P
a <
√
n
X n − θ
S n
< b
= 1 − α
d’où l’intervalle :
X n − b
S n
√
n
<θ S n
√
n
Pour α = 0,05 on retient des risques symétriques puisque la loi est symétrique et on lit
dans la table 6 les fractiles b =−a = 2,064 avec x 25 = 2,01 et s 25 = 1,42 d’où l’intervalle :
1,42 <θ <2,59
Exercice n°12
1) L’expression de la vraisemblance est :
L(x 1 ,. . . ,x n ; θ) =
n
i=1
f (x i ) =
θ
2
n
exp
−θ
n
i=1
|x i |
La log-vraisemblance s’écrit :
ln L(x 1 ,. . . ,x n ; θ) =−n ln 2 + n ln θ − θ
n
i=1
|x i |
Cette fonction est dérivable pour tout θ>0 avec :
∂ ln L
∂θ
=
n
θ
−
n
i=1
|x i |
La dérivée s’annule pour θ = n/
n
i=1
|x i | ; la dérivée seconde est négative :
∂
2 ln L
∂θ 2 =−
n
θ 2
L’estimateur du maximum de vraisemblance est donc :
θ n =
n
n
i=1
|X i |
246 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS