Par conséquent :
g (x; θ) =
2n
x
2n−1
θ 2n
si 0 x θ
0
sinon
et :
E (M n ) =
2n
θ 2n
θ
0
x
2n dx =
2n
2n + 1
θ
L’estimateur sans biais est donc :
θ n =
2n + 1
2n
M n
dont la variance se déduit de :
E
M
2
n
=
2n
θ 2n
θ
0 x
2n+1 dx =
2n
2n + 2
θ
2
soit :
V
θ n
=
2n + 1
2n
2
V (M n ) =
θ
2
2n (2n + 2)
Cet estimateur est donc convergent et infiniment plus efficace que T n , au sens où :
V
θ n
V (T n )
=
2
n + 1
→ 0
3) Nous allons construire un intervalle de confiance à partir de M n dont la loi est connue,
de f.r. :
G (x; θ) =

 
 
0s i x < 0
x
2n
θ 2n si 0 x θ
1s i θ Nous cherchons a et b tels que 1 − α = P (θa < M n <θb) ou tels que
α 1 = P (M n <θa) = G (θa; θ) et α 2 = P (M n >θb) = 1 − G (θb; θ) avec
α 1 + α 2 = α , ce qui va définir a et b par :
α 1 = a
2n ,1 − α 2 = b
2n
soit a = α
1/2n
1
et b = (1 − α 2 )
1/2n
d’où l’intervalle de confiance :
M n
b
<θ <
M n
a
Application : a = 0,91,b = 0,999 soit l’intervalle 5,00 <θ <5,48 .
Exercice n°10
Les estimateurs sans biais de σ
2
1 et σ
2
2 sont respectivement :
σ
2
1 =
1
n 1
n 1
i=1
(X i − m)
2
et σ
2
2 =
1
n 2
n 2
i=1
(Y i − m)
2
244 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS