La quantité d’information de Fisher a pour valeur :
I n (θ) = E
−
∂
2 lnL
∂θ 2
=−
n
θ 2 +
2nE (X)
θ 3
=
n
θ 2
Donc cet estimateur est aussi efficace.
Pour construire un intervalle de confiance basé sur θ n on a besoin de connaître sa loi de
probabilité. On va pour cela utiliser le fait que la loi exponentielle appartient à la famille
des lois gamma : X E (1/θ) ≡ γ (1,1/θ) . Utilisant l’une des propriétés des
lois gamma on en conclut que S n =
n
i=1
X i γ (n,1/θ) et donc S n /θ γ (n) . Le
résultat du chapitre 3 § II.E permet de recourir aux tables des lois usuelles puisqu’on y a
établi que 2S n /θ χ
2
2n . On peut donc déterminer deux valeurs a et b telles que :
P
a <
2S n
θ
< b
= 1 − α
et déduire de là l’intervalle de confiance de niveau 1 − α :
2S n
b
<θ <
2S n
a
En choisissant des risques symétriques, pour α = 0,05 on lit dans la table 5 les fractiles
d’ordres respectifs 0,025 et 0,975 de la loi χ
2
20 : a = 9,59 et b = 34,17 d’où l’intervalle 0,67 <θ <2,40 .
Exercice n°8
La log-vraisemblance a pour expression (cf. chap. 3, II, G) :
lnL (x 1 ,...,x n ; m) =−
n
2
ln
2πσ
2
−
n
i=1
lnx i −
1
2σ 2
n
i=1
(lnx i − m)
2
de dérivées :
∂lnL
∂m
=
1
σ 2
n
i=1
(lnx i − m)
∂
2 lnL
∂m 2 =−
n
σ 2 < 0
donc l’emv est :
m n =
1
n
n
i=1
lnX i
Or on sait, par définition de la loi log-normale, que lnX N (m,σ ) donc cet estimateur est sans biais et convergent, de variance :
V ( m n ) =
σ
2
n
242 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS