4) La v.a. n est la somme de n v.a. indépendantes et de même loi γ(1,1/θ ) donc suit
une loi γ(n,1/θ ). On en déduit successivement que n /θ suit une loi γ(n) et que
2 n /θ suit une loi γ(n,1/2) qui est la loi χ
2
2n (cf. chap. 3, § II, D et II, E). On en déduit
un intervalle de confiance bilatéral pour θ par la condition :
1 − α = P
a <
2 n
θ
< b
= P
2n
ˆ
θ n
b
<θ<2n
ˆ
θ n
a
a et b étant les fractiles d'ordres respectifs α/2 et 1 − α/2 de la loi χ
2
2n .
Exercice n°6
1) Chaque variable X i suit une loi N (m i + a,σ ) ,1 i n ; les variables
Y i = X i − m i constituent donc un échantillon d’une v.a. Y de loi N (a,σ ) . Par conséquent, l’estimateur :
a n = Y n =
1
n
n
i=1
Y i =
1
n
n
i=1
(X i − m i )
est un estimateur sans biais et convergent du paramètre a .
L’expression de la log-vraisemblance est :
lnL (x 1 ,...,x n ; a) =−
n
2
ln
2πσ
2
−
1
2σ 2
n
i=1
(x i − m i − a)
2
de dérivées :
∂lnL
∂a
=
1
σ 2
n
i=1
(x i − m i − a)
∂
2 lnL
∂a 2 =−
n
σ 2
On remarque ainsi que a n est un emv et qu’il est efficace car :
V ( a n ) =
σ
2
n
=
1
I n (a)
puisque :
I n (a) = E
−
∂
2 lnL
∂a 2
=
n
σ 2
On obtient un intervalle de confiance à partir de a n dont on connaît la loi, qui est la loi
normale N
a,σ/
√
n
:
a n − u
σ
√
n
< a < a n + u
σ
√
n
où u est le fractile d’ordre 1 − α/2 de la loi N (0,1) , soit u = 1,96 pour α = 0,05 .
240 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS