La question de l'efficacité ne se pose pas puisque l'ensemble des valeurs possibles pour
X est {1,2,...,θ} , qui dépend du paramètre à estimer θ.
Exercice n°4
La v.a. X suit une loi géométrique de paramètre p =
1
θ
, donc avec :
E (X ) =
1
p
= θ
V (X ) =
1 − p
p 2 = θ (θ − 1)
Le paramètre à estimer est la moyenne théorique, donc l'estimateur T n de θ par la méthode des moments est la moyenne empirique X n . Cet estimateur est sans biais et convergent d'après la loi des grands nombres. Pour savoir s'il est efficace, on détermine d'abord
l'expression de la vraisemblance :
L (x 1 ,...,x n ; θ ) =
n
i =1
P (X i = x i ) =
n
i =1
p (1 − p)
x i −1
=
p
n (1 − p)
sn −n =
(θ − 1)
sn −n
θ sn
ayant posé s n =
n
i =1 x i . La log-vraisemblance est donc :
lnL (x 1 ,...,x n ; θ ) = (s n − n) ln (θ − 1) − s n lnθ
Soit en dérivant :
∂lnL
∂θ
=
s n − n
θ − 1
−
s n
θ
On dérive une nouvelle fois :
∂
2 lnL
∂θ 2 =−
s n − n
(θ − 1)
2
+
s n
θ 2
On calcule alors la quantité d'information de Fisher :
I n (θ ) = E
−
∂
2 lnL
∂θ 2
=
E (S n ) − n
(θ − 1)
2
−
E (S n )
θ 2 =
nθ − n
(θ − 1)
2
−
nθ
θ 2 =
n
θ (θ − 1)
Par ailleurs :
V (T n ) = V
X n
=
V (X )
n
=
θ (θ − 1)
n
=
1
I n (θ )
L'estimateur T n est donc efficace.
Exercice n°5
1) On obtient :
E(X ) =
1
θ
+∞
1
x
−1/θ dx =
1
1 − θ
sous réserve que cette intégrale soit convergente, c'est-à-dire que 1 − 1/θ < 0 soit
0 <θ<1.
L'équation X n = 1/(1 − θ) donne comme solution l'estimateur T n = 1 − 1/X n .
238 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS