Corrigés
Exercice n°1
1) Les v.a. X t suivent la même loi normale N (a,a) , donc la log-vraisemblance a pour
expression :
lnL (x 1 ,...,x n ; a) =−
n
2
ln (2π) − nlna −
1
2a 2
n
t=1
(x t − a)
2
de dérivées :
∂lnL
∂a
=−
n
a
+
1
a 3
n
t=1
(x t − a)
2 +
1
a 2
n
t=1
(x t − a)
∂
2 lnL
∂a 2 =
2n
a 2 −
3
a 4
n
t=1
(x t − a)
2 −
4
a 3
n
t=1
(x t − a)
Nous allons poser :
x =
1
n
n
t=1
x t et s
′2 =
1
n
n
t=1
(x t − x)
2 .
On peut écrire :
1
n
n
t=1
(x t − a)
2 = s
′2 + (x − a)
2
et on obtient alors :
∂lnL
∂a
=
n
a 3
s
′2 + x
2 − ax − a
2
∂
2 lnL
∂a 2 =
n
a 2 +
2nx
a 3 −
3n
a 4
x
2 + s
′2
La dérivée première admet comme racine positive a =
1
2
5x
2 + s ′2 − x
qui
vérifie s
′2 + x
2 = a
2 + ax et donc la dérivée seconde admet comme valeur en ce point :
−
2n
a 2 −
nx
a 3 < 0
La vraisemblance est donc maximum en ce point, l’expression de l’emv étant donc :
a n =
1
2
5X
2
n + S ′2
n − X n
Estimation 235
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