Exercice n°13
Soit X une v.a. de densité :
f (x; θ) =
1
2θ
√
x
e
−
√
x/θ
si x > 0
0s i x 0
où θ est un paramètre strictement positif que l’on se propose d’estimer à partir d’un
échantillon (X 1 ,...,X n ) de X .
1) Déterminer l’estimateur du maximum de vraisemblance θ n de θ et étudier ses propriétés.
2) Construire un intervalle de confiance de niveau 0,90 pour θ dans le cas où on a
observé
20
i=1
√
x i = 47,4.
Exercice n°14
Soit (X,Y ) un couple normal dont la densité est définie par :
f (x,y) =
1
2π
√
θ
exp −
1
2θ
(1 + θ)x
2 + 2(1 + 2θ)xy + (1 + 4θ)y
2
1) Déterminer la loi de X + Y et en déduire un estimateur T n de θ par la méthode des
moments construit à partir d’un échantillon de taille n du couple (X,Y ).
2) Étudier les propriétés de T n . Est-il efficace ? Déterminer la loi de T n et en déduire un
intervalle de confiance bilatéral pour θ de niveau 1 − α.
3) Déterminer la loi limite de T n et en déduire un intervalle de confiance bilatéral pour θ
de niveau voisin de 1 − α.
Exercice n°15
Soit X une v.a. de densité :
f (x; θ) =
1
θ
exp −
x − θ
θ
si θ x
0
sinon
où θ est un réel strictement positif.
1) Calculer E (X)
2) Soit X 1 ,...,X n des v.a. indépendantes, de même loi que X. Déterminer un estimateur
T n de θ par la méthode des moments. Étudier ses propriétés. Est-il efficace?
3) Déterminer la loi limite de T n quand n devient infini et en déduire un intervalle de
confiance bilatéral symétrique de niveau voisin de 1 − α = 0,95 pour θ, dans le cas où
on a observé la valeur
100
i=1 x i = 660 sur un échantillon de taille n = 100.
234 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS