Exercice n°9
Soit X une v.a. de densité :
f (x; θ) =
2x
θ 2 si 0 x θ
0 sinon
où θ est un paramètre strictement positif.
1) Déterminer un estimateur de θ , par la méthode des moments, construit à partir d’un
échantillon (X 1 ,...,X n ) de X , et étudier ses propriétés.
2) Déterminer un estimateur sans biais θ n de θ , construit à partir de l’estimateur du
maximum de vraisemblance, et étudier ses propriétés.
3) Construire un intervalle de confiance de niveau 0,95 pour θ dans le cas où on a observé max {x 1 ,...,x 20 } = 5 .
Exercice n°10
Deux ateliers de fabrication produisent des doubles-vitrages dont l’épaisseur peut être
considérée comme une v.a. de loi normale d’espérance m = 6 mm, soit pour chaque atelier les v.a. X et Y de lois respectives N (m,σ 1 ) et N (m,σ 2 ) . Pour comparer les caractéristiques de fabrication de chacun de ces ateliers, on prélève respectivement n 1 et n 2
vitrages d’épaisseurs notées X 1 ,...,X n 1 et Y 1 ,...,Y n 2 . Construire un intervalle de
confiance de niveau 1 − α pour le rapport σ
2
1 /σ
2
2 .
Exercice n°11
Soit (X 1 ,. . . ,X n ) un échantillon d’une v.a. X de loi normale d’espérance et de variance égales à un paramètre inconnu θ>0 .
1) Déterminer deux estimateurs de θ par la méthode des moments, étudier leurs propriétés et les comparer entre eux.
2) Construire un intervalle de confiance pour θ de niveau 0,95 ayant observé :
25
i=1
x i = 50,23 et
25
i=1
(x i − x)
2 = 48,12
Exercice n°12
Soit X une variable aléatoire dont la densité a pour expression :
f (x) =
θ
2
e
−θ|x|
où θ est un paramètre réel strictement positif.
1) Déterminer l’estimateur ˆ
θ n du paramètre θ par la méthode du maximum de vraisemblance, construit à partir d’un échantillon (X 1 ,...,X n ) de X et étudier ses propriétés.
Est-il efficace ?
2) On pose n =
n
i=1
|X i |. Déterminer la loi de 2θθ n et en déduire un intervalle de
confiance bilatéral pour θ de niveau 1 − α.
3) Déterminer la loi limite de ˆ
θ n et en déduire un intervalle de confiance bilatéral pour θ
de niveau voisin de 1 − α.
Estimation 233
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
Soit X une v.a. de densité :
f (x; θ) =
2x
θ 2 si 0 x θ
0 sinon
où θ est un paramètre strictement positif.
1) Déterminer un estimateur de θ , par la méthode des moments, construit à partir d’un
échantillon (X 1 ,...,X n ) de X , et étudier ses propriétés.
2) Déterminer un estimateur sans biais θ n de θ , construit à partir de l’estimateur du
maximum de vraisemblance, et étudier ses propriétés.
3) Construire un intervalle de confiance de niveau 0,95 pour θ dans le cas où on a observé max {x 1 ,...,x 20 } = 5 .
Exercice n°10
Deux ateliers de fabrication produisent des doubles-vitrages dont l’épaisseur peut être
considérée comme une v.a. de loi normale d’espérance m = 6 mm, soit pour chaque atelier les v.a. X et Y de lois respectives N (m,σ 1 ) et N (m,σ 2 ) . Pour comparer les caractéristiques de fabrication de chacun de ces ateliers, on prélève respectivement n 1 et n 2
vitrages d’épaisseurs notées X 1 ,...,X n 1 et Y 1 ,...,Y n 2 . Construire un intervalle de
confiance de niveau 1 − α pour le rapport σ
2
1 /σ
2
2 .
Exercice n°11
Soit (X 1 ,. . . ,X n ) un échantillon d’une v.a. X de loi normale d’espérance et de variance égales à un paramètre inconnu θ>0 .
1) Déterminer deux estimateurs de θ par la méthode des moments, étudier leurs propriétés et les comparer entre eux.
2) Construire un intervalle de confiance pour θ de niveau 0,95 ayant observé :
25
i=1
x i = 50,23 et
25
i=1
(x i − x)
2 = 48,12
Exercice n°12
Soit X une variable aléatoire dont la densité a pour expression :
f (x) =
θ
2
e
−θ|x|
où θ est un paramètre réel strictement positif.
1) Déterminer l’estimateur ˆ
θ n du paramètre θ par la méthode du maximum de vraisemblance, construit à partir d’un échantillon (X 1 ,...,X n ) de X et étudier ses propriétés.
Est-il efficace ?
2) On pose n =
n
i=1
|X i |. Déterminer la loi de 2θθ n et en déduire un intervalle de
confiance bilatéral pour θ de niveau 1 − α.
3) Déterminer la loi limite de ˆ
θ n et en déduire un intervalle de confiance bilatéral pour θ
de niveau voisin de 1 − α.
Estimation 233
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.