2) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire Y = ln X .
3) Déterminer l'estimateur ˆ
θ n du paramètre θ par la méthode du maximum de vraisemblance et étudier ses propriétés. Est-il efficace ?
4) On pose n =
n
i =1
ln X i . Déterminer la loi de probabilité de 2 n /θ et en déduire un
intervalle de confiance bilatéral pour θ de niveau 1 − α .
Exercice n°6
Le total des ventes hebdomadaires d’un produit alimentaire dans un magasin i,1 i n,
est une v.a. X i de loi normale N (m i ,σ ) où les valeurs m i et σ sont supposées connues.
Une campagne publicitaire de ce produit a pour conséquence d’augmenter les ventes, de
telle sorte que chaque moyenne m i est augmentée d’une même quantité a .
1) Déterminer un estimateur de a construit à partir d’observations indépendantes
(X 1 ,...,X n ) des ventes après cette campagne et étudier ses propriétés, puis construire
un intervalle de confiance de niveau 0,95.
2) Déterminer un estimateur du paramètre b dans le cas où chaque moyenne m i est cette
fois multipliée par b et étudier ses propriétés.
3) Application aux données suivantes dans le cas où σ = 3 .
m i 98 101 104 99 100 102 95
97 105 103
x i 109 105 110 106 110 114 108 104 115 118
Exercice n°7
La durée de vie d’un certain matériel est représentée par une v.a. positive X de densité :
f (x; θ) =
1
θ
e
−x/θ
si x > 0
0s i x 0
où θ est un paramètre inconnu strictement positif.
Étudier les propriétés de l’estimateur du maximum de vraisemblance θ n construit à partir d’un échantillon (X 1 ,. . . ,X n ) de la v.a. X .
Construire un intervalle de confiance pour θ de niveau 0,95 dans le cas où les observations
ont conduit à
10
i=1
x i = 11,5 .
Exercice n°8
Soit (X 1 ,...,X n ) un échantillon d’une v.a. X de loi log-normale de paramètres m et
σ>0 .
Étudier les propriétés de l’estimateur du maximum de vraisemblance de m .
Construire un intervalle de confiance pour m de niveau 0,95 dans le cas où σ = 1 et où
on a observé
25
i=1
lnx i = 54,94 .
232 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS