Énoncés
Exercice n°1
À partir d’observations indépendantes (X 1 ,...,X n ) d’une certaine grandeur économique X , on retient le modèle suivant :
X t = a (1 + ε t ) , 1 t n
où les v.a. ε t sont indépendantes et de même loi normale standard.
1) Déterminer l’estimateur du maximum de vraisemblance a n de a .
2) Étudier les propriétés de l’estimateur de a obtenu par la méthode des moments.
3) Proposer un estimateur de la variance du modèle.
Exercice n°2
Afin d’organiser au mieux l’accueil des groupes de visiteurs d’un parc d’attractions, on
note la durée X séparant l’arrivée de deux groupes successifs. À partir des observations
(X 1 ,...,X n ) recueillies dans une journée, on retient comme modèle la loi uniforme sur
[0,θ] .
1) Déterminer par la méthode des moments un estimateur sans biais du paramètre θ>0
et étudier ses propriétés.
2) Déterminer par la méthode du maximum de vraisemblance un estimateur sans biais du
paramètre θ et étudier ses propriétés. Comparer les deux estimateurs.
Exercice n°3
Une v.a. X suit une loi uniforme discrète sur l'ensemble des entiers {1,2,...,θ} où θ est
un entier positif inconnu. Déterminer, par la méthode des moments, un estimateur de θ
construit à partir d'un échantillon (X 1 ,...,X n ) de X et étudier ses propriétés. Est-il efficace ?
Exercice n°4
Une urne contient un nombre de boules inconnu θ 2, une seule d'entre elles étant
blanche. On effectue dans cette urne des tirages successifs avec remise, jusqu'à ce qu'on
obtienne une boule blanche et on note X la variable aléatoire qui représente le nombre
de tirages effectués. À partir d'un échantillon (X 1 ,...,X n ) de X,déterminer un estimateur T n de θ par la méthode des moments. Étudier ses propriétés. Est-il efficace ?
Exercice n°5
Soit X une variable aléatoire dont la densité a pour expression, pour x > 1 :
f (x) =
1
θ
x
−1/θ −1 avec θ>0
et nulle sinon.
1) Calculer E(X ) et en déduire un estimateur T n de θ par la méthode des moments,
construit à partir d'un échantillon (X 1 ,...,X n ) de X.
Estimation 231
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
Exercices
Exercice n°1
À partir d’observations indépendantes (X 1 ,...,X n ) d’une certaine grandeur économique X , on retient le modèle suivant :
X t = a (1 + ε t ) , 1 t n
où les v.a. ε t sont indépendantes et de même loi normale standard.
1) Déterminer l’estimateur du maximum de vraisemblance a n de a .
2) Étudier les propriétés de l’estimateur de a obtenu par la méthode des moments.
3) Proposer un estimateur de la variance du modèle.
Exercice n°2
Afin d’organiser au mieux l’accueil des groupes de visiteurs d’un parc d’attractions, on
note la durée X séparant l’arrivée de deux groupes successifs. À partir des observations
(X 1 ,...,X n ) recueillies dans une journée, on retient comme modèle la loi uniforme sur
[0,θ] .
1) Déterminer par la méthode des moments un estimateur sans biais du paramètre θ>0
et étudier ses propriétés.
2) Déterminer par la méthode du maximum de vraisemblance un estimateur sans biais du
paramètre θ et étudier ses propriétés. Comparer les deux estimateurs.
Exercice n°3
Une v.a. X suit une loi uniforme discrète sur l'ensemble des entiers {1,2,...,θ} où θ est
un entier positif inconnu. Déterminer, par la méthode des moments, un estimateur de θ
construit à partir d'un échantillon (X 1 ,...,X n ) de X et étudier ses propriétés. Est-il efficace ?
Exercice n°4
Une urne contient un nombre de boules inconnu θ 2, une seule d'entre elles étant
blanche. On effectue dans cette urne des tirages successifs avec remise, jusqu'à ce qu'on
obtienne une boule blanche et on note X la variable aléatoire qui représente le nombre
de tirages effectués. À partir d'un échantillon (X 1 ,...,X n ) de X,déterminer un estimateur T n de θ par la méthode des moments. Étudier ses propriétés. Est-il efficace ?
Exercice n°5
Soit X une variable aléatoire dont la densité a pour expression, pour x > 1 :
f (x) =
1
θ
x
−1/θ −1 avec θ>0
et nulle sinon.
1) Calculer E(X ) et en déduire un estimateur T n de θ par la méthode des moments,
construit à partir d'un échantillon (X 1 ,...,X n ) de X.
Estimation 231
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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