L’espérance conditionnelle E θ (S|T ) permet bien de construire un estimateur, car
elle est indépendante de θ en raison de l’exhaustivité de T .
Avec le critère de la variance, on peut espérer trouver un estimateur optimal dans
la classe des estimateurs sans biais de variance finie. Cet estimateur n’est pas nécessairement efficace, mais bien sûr s’il existe un estimateur efficace il est optimal. Dans
le cas d’une statistique exhaustive complète, l’estimateur amélioré de Rao-Blackwell
est optimal.
230 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
Théorème de Rao-Blackwell
Si T est une statistique exhaustive pour la famille P θ et S un estimateur sans biais
de g (θ) ,l’estimateur E θ (S|T ) est sans biais et préférable à S .
Théorème de Lehmann-Scheffé
Si T est une statistique exhaustive complète pour la famille P θ et S un estimateur
sans biais de g (θ) ,l’estimateur E θ (S|T ) est optimal dans la classe des estimateurs
sans biais.
Exemple 7.28
Pour la loi uniforme sur [0,θ] , S = 2X n est un estimateur sans biais de θ . On
peut établir que X (n) = max {X 1 ,. . . ,X n } est une statistique exhaustive et complète pour θ . Donc l’estimateur E θ
2X n |X (n)
est sans biais et optimal. En
écrivant :
E θ
X n |X (n)
=
1
n
X (n) +
n − 1
n
E θ
1
n − 1
n−1
i=1
X (i) |X (n)
on établit que E θ
2X n |X (n)
=
n + 1
n
X (n) .