statistique exhaustive pour θ . Ceci provient du fait que le théorème de DarmoisKoopman ne s’applique pas, l’ensemble E = X () = [0,θ] dépendant du
paramètre θ .
La famille exponentielle permet d’obtenir un estimateur efficace et comme le théorème suivant le précise, c’est une condition nécessaire.
Estimation 229
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Théorème de Koopman
Sous les hypothèses de Cramer-Rao, la dérivée de f par rapport à θ étant continue
en θ , si T n est un estimateur sans biais du paramètre réel g (θ) , alors T n est un estimateur efficace si, et seulement si, il existe des fonctions réelles α,β et γ telles que :
ln f (x; θ) = β (θ) + γ (x) + α (θ) T (x)
La statistique T n =
1
n
n
i=1
T (X i ) est exhaustive, complète et minimale et constitue
un résumé exhaustif d’ordre un ; c’est aussi un estimateur efficace du paramètre
g (θ) =−β
′ (θ) /α
′ (θ) qui est le seul paramètre que l’on peut estimer efficacement
(ou une fonction affine de celui-ci) et qui n’est pas forcément le paramètre d’intérêt.
Exemple 7.26
Loi de Poisson :
ln f (x; θ) =−θ − lnx! + xlnθ
β (θ) =−θ,α (θ) = lnθ,T (x) = x
L’estimateur T n =
1
n
n
i=1
X i est efficace pour g (θ) = θ .
Exemple 7.27
Famille de lois γ ( p) :
ln f (x; p) =−lnŴ ( p) − x + ( p − 1) lnx
β ( p) =−lnŴ ( p) ,α ( p) = p − 1,T (x) = lnx
L’estimateur T n =
1
n
n
i=1
lnX i est efficace pour g ( p) = Ŵ
′ ( p) /Ŵ( p) qui est
un paramètre de peu d’intérêt.
D. Amélioration d’un estimateur
L’existence d’une statistique exhaustive pour le paramètre permet d’améliorer, en utilisant le critère de la variance, un estimateur sans biais.