Exemple 7.20
Loi binômiale : T (x) = x , donc
n
i=1
X i , ou X n , est une statistique exhaustive et
complète pour le paramètre p .
Exemple 7.21
Loi de Poisson : X n est une statistique exhaustive et complète pour le paramètre θ .
Exemple 7.22
Famille des lois γ ( p; θ) : la statistique
T 1 =
n
i=1
X i ,T 2 =
n
i=1
lnX i
est
exhaustive pour le paramètre (θ,p) .
Exemple 7.23
Loi normale :
f (x; θ) =
1
√
2π
e
−m 2 /2σ 2
σ
exp
m
σ 2 x −
1
2σ 2 x
2
et T =
n
i=1
X i ,
n
i=1
X
2
i
est exhaustive complète pour le paramètre θ =
m,σ
2
.
Dans le cas où l’ensemble E = X () des valeurs possibles pour X est indépendant
du paramètre θ , le théorème de Darmois-Koopman énonce que l’appartenance à la famille exponentielle est une condition nécessaire et suffisante d’existence d’un résumé
exhaustif d’ordre k pour un paramètre vectoriel.
Exemple 7.24
Loi de Cauchy :
f (x; θ) =
1
π
1
1 + (x − θ)
2
cette densité n’appartient pas à la famille exponentielle, donc il n’existe pas de
résumé exhaustif pour θ .
Exemple 7.25
Loi uniforme sur [0,θ] :
f (x; θ) =
1
θ
1 [0,θ] (x)
cette densité n’appartient pas à la famille exponentielle et cependant on peut établir grâce au théorème de factorisation que X (n) = max {X 1 ,. . . ,X n } est une
228 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
Théorème
Si la densité de la famille exponentielle s’écrit sous la forme :
f (x; θ) = a (θ) b (x) exp
k
j=1
θ j T j (x)
où θ = (θ 1 ,...,θ k ) appartient à qui contient un pavé de R
k (ou qui est d’intérieur
non vide), alors la statistique T = (T 1 ,...,T k ) est exhaustive, complète et minimale.