C. Famille exponentielle
La famille des lois exponentielles joue un rôle très important en statistique car elle possède un certain nombre de propriétés intéressantes. Il s’agit des lois dont la densité peut
s’écrire sous la forme :
f (x; θ) = a (θ) b (x) exp
k
j=1
α j (θ) T j (x)
Exemple 7.17
Loi binômiale :
f (x; p) = (1 − p)
n
n
x
exp
xln
p
1 − p
α ( p) = ln
p
1 − p
et T (x) = x
Exemple 7.18
Loi de Poisson :
f (x; θ) = e
−θ 1
x!
exp (xlnθ)
α (θ) = lnθ et T (x) = x
Exemple 7.19
Famille des lois γ ( p; θ) :
f (x; p,θ) =
θ
p
Ŵ ( p)
1 R+ (x) exp [−θ x + ( p − 1) lnx]
α 1 =−θ,α 2 = p − 1e tT 1 (x) = x,T 2 (x) = lnx
Le théorème de factorisation permet de conclure que la statistique :
T (X 1 ,...,X n ) =
n
i=1
T 1 (X i ) ,. . . ,
n
i=1
T k (X i )
est exhaustive. En effet, la vraisemblance s’écrit dans ce cas :
L (x 1 ,...,x n ; θ) = a
n (θ)
n
i=1
b (x i )
exp
k
j=1
α j (θ) T j
ayant posé T j =
n
i=1
T j (x i ) . Dans le cas où les fonctions α j sont linéairement indépendantes, cette statistique est de plus minimale. On fait alors le changement de paramètres
θ j = α j (θ) ,1 j k , dans la famille exponentielle, ce qui correspond à une nouvelle
famille P θ où θ = (θ 1 ,. . . ,θ k ) est appelé paramètre naturel de la famille exponentielle.
On peut énoncer le résultat suivant.
Estimation 227
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