Cette factorisation n’est bien sûr pas unique, mais la quantité h (x 1 ,...,x n ) =
ψ (x 1 ,...,x n ; t (x 1 ,...,x n )) peut représenter la densité de (X 1 ,...,X n ) |T n = t et
dans ce cas g (t; θ) est la densité de T n .
Exemple 7.16
Soit X une v.a. de loi E (1/θ) ≡ γ (1,1/θ) et considérons la statistique
T n =
n
i=1
X i qui suit la loi γ (n,1/θ) . La vraisemblance s’écrit :
L (x 1 ,...,x n ; θ) =
n
i=1
1 R+ (x i )
1
θ n exp −
1
θ
n
i=1
x i
= g (t; θ) h (x 1 ,...,x n )
en ayant posé g (t; θ) = 1/θ
n e
−t/θ et h (x 1 ,. . . ,x n ) = 1 R n
+
(x 1 ,. . . ,x n ) , ce qui
montre que T n est exhaustive. Mais on peut également prendre :
g (t; θ) =
1
θ n Ŵ (n)
e
−t/θ t
n−1 1 R+ (t)
qui est la densité de T n , et dans ce cas :
h (x 1 ,. . . ,x n ) =
Ŵ (n)
t n−1 1 R n
+
(x 1 ,. . . ,x n ) =
(n − 1)!
n
i=1
x i
n−1 1 R n
+
(x 1 ,. . . ,x n )
est la densité de l’échantillon conditionnellement à T n = t .
Quand T prend ses valeurs dans l’espace des paramètres , on dit que T est un résumé exhaustif pour θ . Quand T est à valeurs dans R
s , on dit que T est une statistique
exhaustive d’ordre s . Une statistique exhaustive pour un échantillon est bien entendu
exhaustive pour toute fonction de cet échantillon.
Dans l’exemple précédent, nous aurions pu choisir d’autres statistiques exhaustives
comme par exemple (X 1 + X 2 ,X 3 ,...,X n ) ,
X 1 + X 2 + X 3 ,X 4, ...,X n
... ou
l’échantillon lui-même (X 1 ,X 2 ,...,X n ) puisque l’application identique est toujours
une statistique exhaustive. Notons aussi que T n est une fonction de toutes ces statistiques.
Il est donc souhaitable de réduire au maximum l’espace des observations sans perdre
d’information sur θ . C’est ce que réalise une statistique exhaustive minimale (minimal
sufficient, ou necessary and sufficient) S qui est une fonction de toute autre statistique
exhaustive T . De façon précise, si T est à valeurs dans G et S à valeurs dans F , alors
il existe une application mesurable g : G → F telle que S = g (T ) .
Nous allons introduire une troisième notion et faire le lien entre elles. Une statistique T
est dite complète (ou totale) si toute v.a. h telle que h (T ) est d’intégrale nulle pour P θ est
nulle P θ -presque partout. Avec cette nouvelle définition, on peut énoncer le résultat suivant.
226 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
Théorème
Toute statistique exhaustive et complète est minimale.
Il faut cependant faire attention : une statistique exhaustive minimale n’est pas forcément complète.
ψ (x 1 ,...,x n ; t (x 1 ,...,x n )) peut représenter la densité de (X 1 ,...,X n ) |T n = t et
dans ce cas g (t; θ) est la densité de T n .
Exemple 7.16
Soit X une v.a. de loi E (1/θ) ≡ γ (1,1/θ) et considérons la statistique
T n =
n
i=1
X i qui suit la loi γ (n,1/θ) . La vraisemblance s’écrit :
L (x 1 ,...,x n ; θ) =
n
i=1
1 R+ (x i )
1
θ n exp −
1
θ
n
i=1
x i
= g (t; θ) h (x 1 ,...,x n )
en ayant posé g (t; θ) = 1/θ
n e
−t/θ et h (x 1 ,. . . ,x n ) = 1 R n
+
(x 1 ,. . . ,x n ) , ce qui
montre que T n est exhaustive. Mais on peut également prendre :
g (t; θ) =
1
θ n Ŵ (n)
e
−t/θ t
n−1 1 R+ (t)
qui est la densité de T n , et dans ce cas :
h (x 1 ,. . . ,x n ) =
Ŵ (n)
t n−1 1 R n
+
(x 1 ,. . . ,x n ) =
(n − 1)!
n
i=1
x i
n−1 1 R n
+
(x 1 ,. . . ,x n )
est la densité de l’échantillon conditionnellement à T n = t .
Quand T prend ses valeurs dans l’espace des paramètres , on dit que T est un résumé exhaustif pour θ . Quand T est à valeurs dans R
s , on dit que T est une statistique
exhaustive d’ordre s . Une statistique exhaustive pour un échantillon est bien entendu
exhaustive pour toute fonction de cet échantillon.
Dans l’exemple précédent, nous aurions pu choisir d’autres statistiques exhaustives
comme par exemple (X 1 + X 2 ,X 3 ,...,X n ) ,
X 1 + X 2 + X 3 ,X 4, ...,X n
... ou
l’échantillon lui-même (X 1 ,X 2 ,...,X n ) puisque l’application identique est toujours
une statistique exhaustive. Notons aussi que T n est une fonction de toutes ces statistiques.
Il est donc souhaitable de réduire au maximum l’espace des observations sans perdre
d’information sur θ . C’est ce que réalise une statistique exhaustive minimale (minimal
sufficient, ou necessary and sufficient) S qui est une fonction de toute autre statistique
exhaustive T . De façon précise, si T est à valeurs dans G et S à valeurs dans F , alors
il existe une application mesurable g : G → F telle que S = g (T ) .
Nous allons introduire une troisième notion et faire le lien entre elles. Une statistique T
est dite complète (ou totale) si toute v.a. h telle que h (T ) est d’intégrale nulle pour P θ est
nulle P θ -presque partout. Avec cette nouvelle définition, on peut énoncer le résultat suivant.
226 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
Théorème
Toute statistique exhaustive et complète est minimale.
Il faut cependant faire attention : une statistique exhaustive minimale n’est pas forcément complète.