Exemple 7.15
Considérons un contrôle industriel de pièces défectueuses, effectué en tirant avec
remise n pièces dans un lot, pour connaître la proportion θ de défectueuses.
À chaque pièce tirée on associe une v.a. de Bernoulli :
X i =
1 θ
01 − θ
1 i n
Le rang de tirage des pièces défectueuses n’apporte évidemment aucune information sur le paramètre θ et toute l’information apportée par l’échantillon
(X 1 ,...,X n ) est contenue dans la statistique T (X 1 ,...,X n ) =
n
i=1
X i qui suit
une loi B (n,θ) . Pour préciser cette évidence, nous allons déterminer la loi d’un
échantillon lorsque cette statistique a une valeur fixée t , soit :
P θ (X 1 = x 1 ,...,X n = x n |T = t) =
P θ (X 1 = x 1 ,. . . ,X n = x n ,T = t)
P θ (T = t)
On a P θ (X i = x i ) = θ
x i (1 − θ)
1−x i , x i ∈{0,1} et donc :
P θ (X 1 = x 1 ,. . . ,X n = x n ,T = t) = P θ
X 1 = x 1 ,. . . ,X n = t −
n−1
i=1
x i
= θ
t (1 − θ)
n−t
Comme :
P θ (T = t) =
n
t
θ
t (1 − θ)
n−t
on en conclut :
P θ (X 1 = x 1 ,...,X n = x n |T = t) =
1
n
t
résultat prévisible en remarquant que
n
t
représente le nombre de choix des t
indices i pour lesquels x i = 1 . On constate donc que cette probabilité est indépendante du paramètre inconnu θ .
Cet exemple nous montre que si la loi de l’échantillon, conditionnellement à une
valeur fixée de la statistique, est indépendante de la loi de X ,c’est-à-dire du paramètre θ ,
cela traduit le fait que les valeurs individuelles n’apportent pas plus d’information sur θ
que la seule valeur de T . Nous dirons qu’une statistique T n est exhaustive (sufficient) si
la loi conditionnelle de (X 1 ,...,X n ) pour T = t fixé est indépendante de θ . Cette propriété d’exhaustivité pourra se démontrer facilement à l’aide du résultat suivant.
Estimation 225
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
Théorème de factorisation (Neyman-Fisher)
Une statistique T n est exhaustive s’il existe deux applications mesurables positives g
et h telles que la densité L de l’échantillon puisse se factoriser sous la forme :
L (x 1 ,. . . ,x n ; θ) = g (t; θ) h (x 1 ,. . . ,x n )
Considérons un contrôle industriel de pièces défectueuses, effectué en tirant avec
remise n pièces dans un lot, pour connaître la proportion θ de défectueuses.
À chaque pièce tirée on associe une v.a. de Bernoulli :
X i =
1 θ
01 − θ
1 i n
Le rang de tirage des pièces défectueuses n’apporte évidemment aucune information sur le paramètre θ et toute l’information apportée par l’échantillon
(X 1 ,...,X n ) est contenue dans la statistique T (X 1 ,...,X n ) =
n
i=1
X i qui suit
une loi B (n,θ) . Pour préciser cette évidence, nous allons déterminer la loi d’un
échantillon lorsque cette statistique a une valeur fixée t , soit :
P θ (X 1 = x 1 ,...,X n = x n |T = t) =
P θ (X 1 = x 1 ,. . . ,X n = x n ,T = t)
P θ (T = t)
On a P θ (X i = x i ) = θ
x i (1 − θ)
1−x i , x i ∈{0,1} et donc :
P θ (X 1 = x 1 ,. . . ,X n = x n ,T = t) = P θ
X 1 = x 1 ,. . . ,X n = t −
n−1
i=1
x i
= θ
t (1 − θ)
n−t
Comme :
P θ (T = t) =
n
t
θ
t (1 − θ)
n−t
on en conclut :
P θ (X 1 = x 1 ,...,X n = x n |T = t) =
1
n
t
résultat prévisible en remarquant que
n
t
représente le nombre de choix des t
indices i pour lesquels x i = 1 . On constate donc que cette probabilité est indépendante du paramètre inconnu θ .
Cet exemple nous montre que si la loi de l’échantillon, conditionnellement à une
valeur fixée de la statistique, est indépendante de la loi de X ,c’est-à-dire du paramètre θ ,
cela traduit le fait que les valeurs individuelles n’apportent pas plus d’information sur θ
que la seule valeur de T . Nous dirons qu’une statistique T n est exhaustive (sufficient) si
la loi conditionnelle de (X 1 ,...,X n ) pour T = t fixé est indépendante de θ . Cette propriété d’exhaustivité pourra se démontrer facilement à l’aide du résultat suivant.
Estimation 225
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
Théorème de factorisation (Neyman-Fisher)
Une statistique T n est exhaustive s’il existe deux applications mesurables positives g
et h telles que la densité L de l’échantillon puisse se factoriser sous la forme :
L (x 1 ,. . . ,x n ; θ) = g (t; θ) h (x 1 ,. . . ,x n )