Pour obtenir un estimateur qui puisse être efficace, il faut d’abord qu’il soit
sans biais et c’est le cas ici de l’estimateur σ n = σ n /a n . Sa variance vaut :
V ( σ n ) =
V (σ n )
a 2
n
=
σ
2 − a
2
n σ
2
a 2
n
=
σ
2
2n
(1 + ε n )
et donc σ n est asymptotiquement efficace. Bien que la loi exacte de σ n ne soit
pas connue, on va pouvoir construire un intervalle de confiance à partir de la
fonction pivotale nσ
2
n /σ
2 pour σ
2 . On peut en effet déterminer les valeurs de a
et b telles que :
P
a < n
σ
2
n
σ 2 < b
= 1 − α
et, comme la fonction racine carrée est croissante, on en déduit l’intervalle de
confiance pour σ défini par :
P
σ n
n
b
<σ <σ n
n
a
= 1 − α
Exemple 7.13
Sur un échantillon de taille n = 100 on veut construire un intervalle de
confiance de niveau 0,95 pour σ à partir de l’observation σ
2
100 = 1,945.
Si on retient un intervalle à risques symétriques, on lit dans la table 5 les
fractiles a = 74,22 et b = 129,56 d’où l’intervalle 1,23 <σ <1,62 de
longueur 0,39 .
Nous allons comparer l’estimateur précédent à un estimateur basé sur l’écart
absolu moyen :
D n =
1
n
n
i=1
|X i |
Son espérance est égale à celle de :
E (|X|) =
1
σ
√
2π
+∞
−∞
|x| e
−x 2 /2σ 2 dx
soit, avec le changement de variable x
2 = 2σ
2 u :
E (|X|) =
2
√
2π
+∞
0
e
−u σ du = σ
2
π
+∞
0
e
−u du = σ
2
π
L’estimateur sans biais que l’on retient est donc :
T n =
π
2
D n
Estimation 221
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