D’après la loi des grands nombres :
D n −−→
p
E (|X|)
donc T n est convergent. Sa variance est :
V (T n ) =
π
2
V (D n ) =
π
2n
V (|X|) =
π
2n
σ
2 −
2σ
2
π
=
π
2
− 1
σ
2
n
Si on compare les deux estimateurs sans biais σ n et T n :
V (T n )
V ( σ n )
=
(π − 2) a
2
n
2n
1 − a 2
n
→ π − 2 > 1
donc σ n est préférable à T n , ce qui était prévisible car nous avions vu qu’il était
asymptotiquement efficace.
Pour construire un intervalle de confiance, nous allons utiliser la loi asymptotique de l’estimateur T n ,déduite du théorème central limite :
√
n
D n − E (|X|)
σ (|X|)
−−→
loi
N (0,1)
d’où :
√
n
T n − σ
σ
√
π/2 − 1
−−→
loi
N (0,1)
On peut donc déterminer une valeur approchée de u telle que :
P
−u <
√
n
T n − σ
σ
√
π/2 − 1
< u
= 1 − α
ce qui conduit à l’intervalle de confiance :
T n
1 + u
√
π/2 − 1/
√
n
<σ <
T n
1 − u
√
π/2 − 1/
√
n
Exemple 7.14
Sur le même échantillon que dans l’exemple 7.13, de taille n = 100 , on a
observé d n = 1,084 . L’intervalle de niveau voisin de 0,95 est alors
1,16 <σ <1,56 de longueur 0,40 .
222 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS