Mais, compte tenu de l’interprétation du paramètre qui mesure ici un degré
d’imprécision, on souhaite qu’il soit le plus faible possible et on retient plus logiquement un intervalle unilatéral à gauche, de la forme σ
2 < constante, ce qui
correspond au choix α 1 = α = 0,01 et α 2 = 0 , soit a = 5,23 et l’intervalle :
σ
2 < 51,63
4) Intervalle pour la variance d’une loi normale d’espérance inconnue
Quand le second paramètre m de la loi normale est inconnu, l’estimateur sans
biais et convergent de σ
2 qu’il faut retenir est :
S
2
n =
1
n − 1
n
i=1
X i − X n
2
Sa loi est connue, (n − 1) S
2
n /σ
2
χ
2
n−1 , et on peut donc déterminer les
valeurs de a et b telles que :
P
a < (n − 1)
S
2
n
σ 2 < b
= 1 − α
ce qui permet d’en déduire l’intervalle de confiance défini par :
P
(n − 1)
S
2
n
b
<σ
2 < (n − 1)
S
2
n
a
= 1 − α
Là encore, il n’y a qu’une seule contrainte pour déterminer les valeurs de a
et b ; si nous posons α 1 = P
χ
2
n−1 < a
et α 2 = P
χ
2
n−1 > b
la contrainte est
α 1 + α 2 = α .
Exemple 7.12
Sur un échantillon de seize chiffres d’affaires de magasins d’une chaîne de
grandes surfaces on a observé s
2
16 = 72,53 . L’intervalle de niveau 0,95 à
risques symétriques est défini à partir de α 1 = α 2 = 0,025 et on lit dans la
table 5, a = 6,26 et b = 27,49 d’où l’intervalle 39,56 <σ
2 < 173,79. Si
on fait le choix d’un intervalle unilatéral à gauche, soit α 1 = α = 0,05 et
α 2 = 0 on obtient a = 7,26 et l’intervalle σ
2 < 149,86 qui est de longueur plus grande que le précédent.
Tous les intervalles précédents ont été construits à partir d’une statistique
dont la loi était indépendante du paramètre θ à estimer et que l’on appelle une
fonction pivotale pour θ . Cependant, dans certains problèmes on peut seulement
trouver une fonction quasi pivotale pour θ ,c ’est-à-dire une statistique dont
seule la loi asymptotique est indépendante de θ .
Estimation 219
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
d’imprécision, on souhaite qu’il soit le plus faible possible et on retient plus logiquement un intervalle unilatéral à gauche, de la forme σ
2 < constante, ce qui
correspond au choix α 1 = α = 0,01 et α 2 = 0 , soit a = 5,23 et l’intervalle :
σ
2 < 51,63
4) Intervalle pour la variance d’une loi normale d’espérance inconnue
Quand le second paramètre m de la loi normale est inconnu, l’estimateur sans
biais et convergent de σ
2 qu’il faut retenir est :
S
2
n =
1
n − 1
n
i=1
X i − X n
2
Sa loi est connue, (n − 1) S
2
n /σ
2
χ
2
n−1 , et on peut donc déterminer les
valeurs de a et b telles que :
P
a < (n − 1)
S
2
n
σ 2 < b
= 1 − α
ce qui permet d’en déduire l’intervalle de confiance défini par :
P
(n − 1)
S
2
n
b
<σ
2 < (n − 1)
S
2
n
a
= 1 − α
Là encore, il n’y a qu’une seule contrainte pour déterminer les valeurs de a
et b ; si nous posons α 1 = P
χ
2
n−1 < a
et α 2 = P
χ
2
n−1 > b
la contrainte est
α 1 + α 2 = α .
Exemple 7.12
Sur un échantillon de seize chiffres d’affaires de magasins d’une chaîne de
grandes surfaces on a observé s
2
16 = 72,53 . L’intervalle de niveau 0,95 à
risques symétriques est défini à partir de α 1 = α 2 = 0,025 et on lit dans la
table 5, a = 6,26 et b = 27,49 d’où l’intervalle 39,56 <σ
2 < 173,79. Si
on fait le choix d’un intervalle unilatéral à gauche, soit α 1 = α = 0,05 et
α 2 = 0 on obtient a = 7,26 et l’intervalle σ
2 < 149,86 qui est de longueur plus grande que le précédent.
Tous les intervalles précédents ont été construits à partir d’une statistique
dont la loi était indépendante du paramètre θ à estimer et que l’on appelle une
fonction pivotale pour θ . Cependant, dans certains problèmes on peut seulement
trouver une fonction quasi pivotale pour θ ,c ’est-à-dire une statistique dont
seule la loi asymptotique est indépendante de θ .
Estimation 219
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.