de longueur l = 224 h observée sur cet échantillon. Si σ avait été connu,
de même valeur que celle observée sur l’échantillon, soit σ = 300,l’intervalle correspondant aurait été :
x 30 − u
σ
√
30
< m < x 30 + u
σ
√
30
avec u =
−1 (0,975) = 1,96 soit l’intervalle 1 893 < m < 2 107 ,d e
longueur l = 214 h, inférieure à la précédente. Ainsi, même en cas d’estimation parfaite, c’est-à-dire telle que s n = σ ,l ’intervalle obtenu est
plus grand ; la connaissance du paramètre σ conduit logiquement à un
intervalle plus précis.
3) Intervalle pour la variance d’une loi normale d’espérance connue
Pour estimer la précision d’un thermomètre, on réalise n mesures indépendantes
de la température d’un liquide qui est maintenu à température constante, égale à
20 degrés Celsius. Compte tenu des erreurs de mesure, la valeur indiquée par le
thermomètre peut être considérée comme une v.a. normale dont la moyenne m
est la valeur exacte de la température, soit ici m = 20 , et dont l’écart type σ est
inconnu et caractérise la précision du thermomètre. L’estimateur, basé sur
l’échantillon (X 1 ,...,X n ) de cette loi N (m,σ ) , est ici :
σ
2
n =
1
n
n
i=1
(X i − m)
2
estimateur sans biais, convergent et efficace, de loi connue : n σ
2
n /σ
2
χ
2
n . On
peut donc déterminer les valeurs de a et b telles que :
P
a < n
σ
2
n
σ 2 < b
= 1 − α
ce qui conduit à l’intervalle de confiance défini par :
P
n
σ
2
n
b
<σ
2 < n
σ
2
n
a
= 1 − α
Cependant, il n’y a qu’une seule condition pour déterminer les deux valeurs
a et b et il reste un degré d’incertitude puisque la loi utilisée n’est pas symétrique. Si on pose α 1 = P
χ
2
n < a
et α 2 = P
χ
2
n > b
, la seule contrainte
dans le choix de α 1 et α 2 est α 1 + α 2 = α . Dans l’exemple retenu, si on a observé sur un échantillon de taille 15 la valeur σ
2
15 = 18 et qu’on retient un intervalle à erreurs symétriques (choix le moins arbitraire), pour un niveau de
confiance 1 − α = 0,99 on lit dans la table 5 les valeurs a = 4,60 et b = 32,8
d’où l’intervalle :
8,23 <σ
2 < 58,70
218 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
de même valeur que celle observée sur l’échantillon, soit σ = 300,l’intervalle correspondant aurait été :
x 30 − u
σ
√
30
< m < x 30 + u
σ
√
30
avec u =
−1 (0,975) = 1,96 soit l’intervalle 1 893 < m < 2 107 ,d e
longueur l = 214 h, inférieure à la précédente. Ainsi, même en cas d’estimation parfaite, c’est-à-dire telle que s n = σ ,l ’intervalle obtenu est
plus grand ; la connaissance du paramètre σ conduit logiquement à un
intervalle plus précis.
3) Intervalle pour la variance d’une loi normale d’espérance connue
Pour estimer la précision d’un thermomètre, on réalise n mesures indépendantes
de la température d’un liquide qui est maintenu à température constante, égale à
20 degrés Celsius. Compte tenu des erreurs de mesure, la valeur indiquée par le
thermomètre peut être considérée comme une v.a. normale dont la moyenne m
est la valeur exacte de la température, soit ici m = 20 , et dont l’écart type σ est
inconnu et caractérise la précision du thermomètre. L’estimateur, basé sur
l’échantillon (X 1 ,...,X n ) de cette loi N (m,σ ) , est ici :
σ
2
n =
1
n
n
i=1
(X i − m)
2
estimateur sans biais, convergent et efficace, de loi connue : n σ
2
n /σ
2
χ
2
n . On
peut donc déterminer les valeurs de a et b telles que :
P
a < n
σ
2
n
σ 2 < b
= 1 − α
ce qui conduit à l’intervalle de confiance défini par :
P
n
σ
2
n
b
<σ
2 < n
σ
2
n
a
= 1 − α
Cependant, il n’y a qu’une seule condition pour déterminer les deux valeurs
a et b et il reste un degré d’incertitude puisque la loi utilisée n’est pas symétrique. Si on pose α 1 = P
χ
2
n < a
et α 2 = P
χ
2
n > b
, la seule contrainte
dans le choix de α 1 et α 2 est α 1 + α 2 = α . Dans l’exemple retenu, si on a observé sur un échantillon de taille 15 la valeur σ
2
15 = 18 et qu’on retient un intervalle à erreurs symétriques (choix le moins arbitraire), pour un niveau de
confiance 1 − α = 0,99 on lit dans la table 5 les valeurs a = 4,60 et b = 32,8
d’où l’intervalle :
8,23 <σ
2 < 58,70
218 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS