dont la loi est connue ; en effet, si nous divisons numérateur et dénominateur par
σ , elle peut aussi s’écrire :
X n − m
/
σ/
√
n
(n − 1)
S
2
n
σ 2 / (n − 1)
où on voit que le numérateur suit une loi normale centrée-réduite et que le dénominateur est la racine carrée d’une v.a. de loi du khi-deux réduite (divisée) par
son nombre de degrés de liberté, car nous avons vu au chapitre 5 que
(n − 1)
S
2
n
σ 2 χ
2
n−1 . Comme d’après le théorème de Fisher numérateur et
dénominateur sont indépendants, on en conclut que la statistique
√
n
X n − m
S n
,
utilisée ici, suit une loi de Student à n − 1d e g r és de liberté. Par lecture de la
table 6, on peut donc déterminer la valeur de t telle que :
P
− t <
√
n
X n − m
S n
< t
= 1 − α
La valeur de t est donc le fractile d’ordre 1 − α/2 de la loi de Student T n−1 .
L’intervalle a bien sûr été choisi symétrique puisque la loi utilisée est symétrique. Par inversion de cet intervalle, on obtient :
P
X n − t
S n
√
n
< m < X n + t
S n
√
n
= 1 − α
ce qui fournit l’intervalle de confiance pour m de niveau 1 − α , centré sur X n ,
mais ici de longueur aléatoire L n = 2tS n /
√
n .
Exemple 7.11
Sur un échantillon de n = 30 durées de vie d’un certain modèle de lampe
on a obtenu comme moments empiriques x 30 = 2 000h et s 30 = 300h.
L’intervalle de confiance de niveau 0,95 pour la durée de vie moyenne m
est donc :
x 30 − t
s 30
√
30
< m < x 30 + t
s 30
√
30
où t est défini par P (−t < T 29 < t) = 0,95 ou P (T 29 < t) = 0,975 soit
t = 2,045 d’où l’intervalle :
1 888 < m < 2 112
Estimation 217
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