D. Intervalles associés aux paramètres de la loi normale
On dispose d’un échantillon (X 1 ,. . . ,X n ) d’une v.a. X qui suit une loi N (m,σ )
pour construire un intervalle de confiance relatif à l’un des deux paramètres de
cette loi, l’autre paramètre étant connu ou inconnu. Ceci correspond aux différentes situations que nous allons étudier maintenant.
1) Intervalle pour la moyenne d’une loi normale d’écart type connu
L’exemple introductif se situait dans ce cadre-là et nous avons obtenu un intervalle de confiance, de niveau 1 − α , pour le paramètre m , centré sur l’estimateur X n :
X n − u
σ
√
n
< m < X n + u
σ
√
n
où u est le fractile d’ordre 1 − α/2 de la loi normale standard, soit
u =
−1 (1 − α/2) . Cet intervalle est de longueur non aléatoire l = 2uσ/
√
n,
proportionnelle au niveau de confiance par l’intermédiaire de u et inversement
proportionnelle à la taille de l’échantillon par le terme 1/
√
n . Pour un niveau de
confiance fixé,c’est l’intervalle symétrique de longueur minimale puisque la loi
de l’estimateur utilisé est symétrique.
2) Intervalle pour la moyenne d’une loi normale d’écart type inconnu
La statistique utilisée dans la situation précédente, et dont la loi était connue,
était la variable normale centrée-réduite :
X n − m
σ/
√
n
=
√
n
X n − m
σ
Elle ne peut plus convenir ici puisque le paramètre σ est inconnu et va donc
devoir être remplacé par un estimateur, basé sur la variance empirique modifiée
qui est un estimateur sans biais de la variance théorique σ
2 :
S
2
n =
1
n − 1
n
i=1
X i − X n
2
On utilise donc comme nouvelle statistique :
√
n
X n − m
S n
216 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS