Dans l’exemple proposé, si pour n = 100 on a observé l ’estimation
p 100 = 0,44 la lecture de l’abaque 2 (où p n = x n est en abscisse et p en ordonnée) conduit à l’intervalle de confiance bilatéral :
0,341 < p < 0,538
Si on ne dispose pas d’abaque permettant d’obtenir sans calculs l’intervalle
exact, et si la valeur de n est suffisamment grande, on obtiendra un intervalle
approché (i.e. de niveau voisin de 0,95) en utilisant la loi asymptotique de p n ,
déduite du théorème central limite :
√
n
p n − p
√ pq
−−→
loi
N (0,1)
On retient alors un intervalle symétrique, à partir de la valeur de a lue dans
la table 2 de la loi normale, telle que :
P
−a <
√
n
p n − p
√ pq
< a
= 1 − α
Soit pour α = 0,05 : a =
−1 (0,975) = 1,96 d’où :
P
p n − 1,96
pq
n
< p < p n + 1,96
pq
n
= 0,95
Pour en déduire un intervalle pour p , il faudrait résoudre ces deux inéquations du second degré en p . Il est plus simple de faire une seconde approximation en remplaçant p par p n dans les bornes de l’intervalle, ce qui conduit à l’intervalle de confiance pour p :
p n − a
p n (1 − p n )
n
< p < p n + a
p n (1 − p n )
n
où a =
−1 (1 − α/2) . On considère que cette approximation est acceptable
pour np (1 − p) 3 . Avec les données de l’exemple on obtient l’intervalle :
0,343 < p < 0,537
On aurait pu également remplacer p (1 − p) par sa borne supérieure, qui
vaut 1/4, et obtenir ainsi l’intervalle approché le plus grand :
p n −
a
2
√
n
< p < p n +
a
2
√
n
Dans cet exemple on obtient :
0,342 < p < 0,538
intervalle qui est donc bien un peu plus grand que le précédent ; seul le premier
intervalle est exact, mais les approximations utilisées ici avec n = 100 donnent
des résultats très voisins.
Estimation 215
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
p 100 = 0,44 la lecture de l’abaque 2 (où p n = x n est en abscisse et p en ordonnée) conduit à l’intervalle de confiance bilatéral :
0,341 < p < 0,538
Si on ne dispose pas d’abaque permettant d’obtenir sans calculs l’intervalle
exact, et si la valeur de n est suffisamment grande, on obtiendra un intervalle
approché (i.e. de niveau voisin de 0,95) en utilisant la loi asymptotique de p n ,
déduite du théorème central limite :
√
n
p n − p
√ pq
−−→
loi
N (0,1)
On retient alors un intervalle symétrique, à partir de la valeur de a lue dans
la table 2 de la loi normale, telle que :
P
−a <
√
n
p n − p
√ pq
< a
= 1 − α
Soit pour α = 0,05 : a =
−1 (0,975) = 1,96 d’où :
P
p n − 1,96
pq
n
< p < p n + 1,96
pq
n
= 0,95
Pour en déduire un intervalle pour p , il faudrait résoudre ces deux inéquations du second degré en p . Il est plus simple de faire une seconde approximation en remplaçant p par p n dans les bornes de l’intervalle, ce qui conduit à l’intervalle de confiance pour p :
p n − a
p n (1 − p n )
n
< p < p n + a
p n (1 − p n )
n
où a =
−1 (1 − α/2) . On considère que cette approximation est acceptable
pour np (1 − p) 3 . Avec les données de l’exemple on obtient l’intervalle :
0,343 < p < 0,537
On aurait pu également remplacer p (1 − p) par sa borne supérieure, qui
vaut 1/4, et obtenir ainsi l’intervalle approché le plus grand :
p n −
a
2
√
n
< p < p n +
a
2
√
n
Dans cet exemple on obtient :
0,342 < p < 0,538
intervalle qui est donc bien un peu plus grand que le précédent ; seul le premier
intervalle est exact, mais les approximations utilisées ici avec n = 100 donnent
des résultats très voisins.
Estimation 215
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.