Nous pouvons pour cela utiliser la loi exacte de n p n = S n et retenir un intervalle
à risques symétriques, c’est-à-dire retenir les conditions P (n p n nt 1 )
= P (n p n nt 2 ) = 0,025. Cependant, une première difficulté se présente
puisque la loi est discrète et que ces égalités n’admettent pas forcément de solution, au sens où il n’y a pas de fractiles d’ordre 0,025 ou 0,975. Nous allons donc
construire un intervalle qui sera de niveau au moins égal à 0,95 en retenant plutôt les inégalités P (n p n nt 1 ) 0,025 et P (n p n nt 2 ) 0,025 . On doit
donc déterminer le plus grand entier n 1 tel que :
n 1
k=0
n
k
p
k (1 − p)
n−k 0,025
et le plus petit entier n 2 tel que :
n 2
k=0
n
k
p
k (1 − p)
n−k 0,975
Pour tout entier fixé n , et pour chaque valeur de p , on peut déterminer les
solutions t 1 = n 1 /n et t 2 = n 2 /n de ces inéquations et tracer ainsi point par
point le graphe de ces deux fonctions de p . Pour chaque verticale, c’est-à-dire
pour p fixé, ces deux courbes déterminent un intervalle [t 1 ( p), t 2 ( p)] tel que
P (t 1 p n t 2 ) 0,95 . Pour une valeur observée p n l’intersection de l’horizontale correspondante avec ces deux courbes permet de lire sur l’axe des abscisses l’intervalle des valeurs de p pour lesquelles on a simultanément
t 1 ( p) p n et t 2 ( p) p n (cf. figure 7.3). Ainsi, l’intervalle de confiance s’obtient par simple lecture de l’abaque correspondant à un niveau de confiance
donné. On a un couple de courbes associées à chaque valeur de n .
214 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
p
1
0
1
t 2 (p)
t 1 (p)
p n
p n
intervalle pour p
Figure 7.3