Le paramètre p de cette loi de Bernoulli représente la proportion, dans la
population, d’électeurs favorables à ce candidat et est estimé par la proportion
observée dans l’échantillon :
p n =
1
n
n
i=1
X i
Nous savons que, en tant que moyenne empirique estimant une moyenne
théorique, cet estimateur naturel de p est sans biais et convergent. Nous allons
établir maintenant que c’est aussi l’estimateur du maximum de vraisemblance et
qu’il est efficace. Pour cela, on suppose que la taille de la population est suffisamment grande pour que les variables X i puissent être considérées comme
indépendantes, c’est-à-dire que l’on se place dans le cadre d’un schéma binômial avec remise. La vraisemblance s’écrit alors :
L (x 1 ,...,x n ; p) =
n
i=1
p
x i (1 − p)
1−x i = p
n
i=1
x i
(1 − p)
n−
n
i=1
x i
avec x i ∈ {0,1} . On obtient donc comme expression de la log-vraisemblance :
lnL(x 1 ,. . . ,x n ; p) =
n
i=1
x i
ln p +
n −
n
i=1
x i
ln(1 − p)
d’où en dérivant :
∂lnL
∂ p
=
n
i=1
x i
p
−
n −
n
i=1
x i
1 − p
=
(1 − p) s n − (n − s n ) p
p (1 − p)
en ayant posé s n =
n
i=1
x i ; cette dérivée s’annule pour s n − np = 0 , soit
p = s n /n , avec comme dérivée seconde :
∂
2 lnL
∂ p 2 =−
s n
p 2 −
n − s n
(1 − p)
2
< 0
car 0 s n n ; p n = S n /n est donc l’emv de p . La variable S n suit une loi
B (n, p) et comme nous sommes dans les conditions d’application de l’inégalité FDCR, nous pouvons calculer la quantité d’information de Fisher par :
I n ( p) = E
−
∂
2 lnL
∂ p 2
=
E (S n )
p 2 +
n − E (S n )
(1 − p)
2
=
n
p (1 − p)
Comme E ( p n ) = p et V ( p n ) = p (1 − p) /n = 1/I n ( p) , on en conclut
que p n est efficace.
Pour construire un intervalle de confiance pour p de niveau 0,95 il faut déterminer les valeurs de t 1 = t 1 ( p) et t 2 = t 2 ( p) telles que P (t 1 p n t 2 ) = 0,95 .
Estimation 213
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