L’intervalle est facile à obtenir ici car les fonctions t 1 et t 2 sont inversibles,
et on obtient alors :
t 1 (θ) T n t 2 (θ) ⇔ a (T n ) = t
−1
2 (T n ) θ t
−1
1 (T n ) = b (T n )
Il existe cependant une part d’arbitraire dans le choix simultané de t 1 et t 2
puisqu’il n’y a qu’une seule condition pour déterminer ces deux valeurs, qui
peut d’ailleurs aussi s’écrire P θ (T n < t 1 ) + P θ (T n > t 2 ) = α , le risque total α
pouvant être a priori réparti de multiples façons. Posons α 1 = P θ {θ>b (T n )}
et α 2 = P θ {θ a) Intervalle bilatéral (α 1 α 2 > 0 )
• Symétrique : α 1 = α 2 = α/2
C’est le choix que l’on fait si la loi de T n est symétrique, ou si on n’a aucune
information particulière, ce choix étant le moins arbitraire.
• Dissymétrique : α 1 = /α 2
Seules des raisons très particulières peuvent permettre de fixer les valeurs de α 1
et α 2 telles que α 1 + α 2 = α .
b) Intervalle unilatéral (α 1 α 2 = 0)
• À droite : α 1 = 0,α 2 = α
C’est l’interprétation donnée au paramètre θ , comme par exemple la résistance
d’un matériau qui doit être supérieure à un seuil minimum, qui conduit à un
intervalle de la forme θ>a (T n ) .
• À gauche : α 1 = α,α 2 = 0
Si par exemple le paramètre est une proportion de défectueux dans un lot, ou un
taux d’impuretés, on souhaite qu’il soit inférieur à un seuil maximum, d’où un
intervalle de la forme θ C. Intervalle pour une proportion
Nous allons voir sur cet exemple que l’inversion de l’intervalle pour la statistique n’est pas toujours aisée, surtout lorsque sa loi est discrète. Supposons que
l’on ait effectué un sondage pour déterminer les intentions de vote pour un certain candidat à une élection présidentielle. À chaque individu interrogé, on associe une variable de Bernoulli qui prend la valeur 1 si cet individu i déclare vouloir voter en faveur de ce candidat :
X i =
1 p
0 q = 1 − p
1 i n
212 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
et on obtient alors :
t 1 (θ) T n t 2 (θ) ⇔ a (T n ) = t
−1
2 (T n ) θ t
−1
1 (T n ) = b (T n )
Il existe cependant une part d’arbitraire dans le choix simultané de t 1 et t 2
puisqu’il n’y a qu’une seule condition pour déterminer ces deux valeurs, qui
peut d’ailleurs aussi s’écrire P θ (T n < t 1 ) + P θ (T n > t 2 ) = α , le risque total α
pouvant être a priori réparti de multiples façons. Posons α 1 = P θ {θ>b (T n )}
et α 2 = P θ {θ a) Intervalle bilatéral (α 1 α 2 > 0 )
• Symétrique : α 1 = α 2 = α/2
C’est le choix que l’on fait si la loi de T n est symétrique, ou si on n’a aucune
information particulière, ce choix étant le moins arbitraire.
• Dissymétrique : α 1 = /α 2
Seules des raisons très particulières peuvent permettre de fixer les valeurs de α 1
et α 2 telles que α 1 + α 2 = α .
b) Intervalle unilatéral (α 1 α 2 = 0)
• À droite : α 1 = 0,α 2 = α
C’est l’interprétation donnée au paramètre θ , comme par exemple la résistance
d’un matériau qui doit être supérieure à un seuil minimum, qui conduit à un
intervalle de la forme θ>a (T n ) .
• À gauche : α 1 = α,α 2 = 0
Si par exemple le paramètre est une proportion de défectueux dans un lot, ou un
taux d’impuretés, on souhaite qu’il soit inférieur à un seuil maximum, d’où un
intervalle de la forme θ C. Intervalle pour une proportion
Nous allons voir sur cet exemple que l’inversion de l’intervalle pour la statistique n’est pas toujours aisée, surtout lorsque sa loi est discrète. Supposons que
l’on ait effectué un sondage pour déterminer les intentions de vote pour un certain candidat à une élection présidentielle. À chaque individu interrogé, on associe une variable de Bernoulli qui prend la valeur 1 si cet individu i déclare vouloir voter en faveur de ce candidat :
X i =
1 p
0 q = 1 − p
1 i n
212 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS