Le point de départ est fourni par un estimateur T n du paramètre θ , construit à
partir d’un échantillon (X 1 ,...,X n ) et dont on connaît la loi en fonction de θ ,ce
qui va permettre de déterminer les valeurs t 1 = t 1 (θ) et t 2 = t 2 (θ) telles que :
P θ {t 1 (θ) T n t 2 (θ)} = 1 − α
Il faut ensuite inverser cet intervalle pour T n , dont les bornes dépendent du paramètre θ , pour obtenir un intervalle pour θ , dont les bornes vont dépendre de l’estimateur T n ,c’est-à-dire déterminer les valeurs a = a (T n ) et b = b (T n ) telles que :
P θ {a (T n ) θ b (T n )} = 1 − α
On peut écrire également P θ {θ ∈ [a (T n ) ,b (T n )]} = 1 − α et on voit ainsi
que [a (T n ) ,b (T n )] est un intervalle de confiance de niveau 1 − α pour le paramètre θ . Il s’agit d’un intervalle aléatoire, au sens où ses bornes sont des v.a.,
dont chaque échantillon fournira une réalisation. Pour obtenir cet intervalle, il
faut donc trouver l’ensemble des valeurs de θ pour lesquelles on a simultanément, pour T n fixé :
t 1 (θ) T n et T n t 2 (θ)
Cet ensemble sera plus ou moins facile à obtenir selon le comportement des
fonctions t 1 et t 2 . Si par exemple ces deux fonctions sont croissantes, on voit sur
la figure 7.2 que :
t 1 (θ) T n ⇔ θ t
−1
1 (T n ) et T n t 2 (θ) ⇔ θ t
−1
2 (T n )
Estimation 211
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θ
T n
T n
t 2 (θ)
t 1 (θ)
a (T n ) = t –1 (T n )
2
b (T n ) = t –1 (T n )
1
Figure 7.2