B. Principe de construction
Dans l’exemple précédent, nous avions abouti à un intervalle de la forme
x n − a < m < x n + b qui correspond à la réalisation d’un événement devant se
produire avec une probabilité fixée 1 − α . La détermination des valeurs de a et
b va donc se faire à partir de la valeur 1 − α de la probabilité,f ixée par le statisticien, à partir de la condition qui s’écrit ici :
1 − α = P
X n − a < m < X n + b
qui est équivalente à :
1 − α = P
−b < X n − m < a
.
Il n’y a donc qu’une seule condition pour déterminer ces deux valeurs ;
cependant, la loi de la v.a. X n − m qui sert à construire cet intervalle étant symétrique, on choisit b = a et on utilise la variable centrée et réduite pour déterminer la valeur de a qui vérifie la condition :
1 − α = P
−
a
σ/
√
n
<
X n − m
σ/
√
n
<
a
σ/
√
n
Si est la f.r. de la loi N (0,1) , alors a est solution de :
1 − α =
a
√
n/σ
−
−a
√
n/σ
= 2
a
√
n/σ
− 1
ou 1 − α/2 =
a
√
n/σ
, soit a
√
n/σ =
−1 (1 − α/2) . Pour un niveau de
confiance de 0,95, soit α = 0,05 , et pour une taille d’échantillon n = 100 , le
fractile d’ordre 0,975 de la loi N (0,1) a pour valeur 1,96 et on en déduit
a = 0,004 , d’où l’intervalle :
23,626 < m < 23,634
obtenu pour cet échantillon particulier.
À partir d’un intervalle que l’on souhaitait obtenir pour le paramètre et dont
les bornes s’exprimaient en fonction d’un estimateur de ce paramètre, on est
arrivé à un intervalle pour l’estimateur, qui pouvait être déterminé avec précision
puisqu’on connaissait sa loi. Ceci va nous fournir le principe de construction
d’un intervalle de confiance en effectuant la démarche en sens contraire.
210 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS