IV. Estimation par intervalle de confiance
A. Exemple introductif
Un industriel commande un lot de tiges métalliques qu’il ne peut utiliser que si
leur longueur est comprise entre 23,60 mm et 23,70 mm. Ces tiges ont été fabriquées par une machine qui, lorsqu’elle est réglée à la valeur m , produit des tiges
dont la longueur peut être considérée comme une v.a. X de loi normale
N (m,σ ) ,o ù l’écart type σ est une caractéristique de la machine, de valeur
connue, ici σ = 0,02 mm. Compte tenu de la symétrie de la distribution normale, la proportion de tiges utilisables par l’industriel sera maximale si le réglage a été effectué à m 0 = 23,65 mm. Ne connaissant pas cette valeur, à la réception d’un lot de tiges l’industriel prélève au hasard n tiges dont il mesure les longueurs X 1 ,...,X n pour se faire une idée de la valeur du paramètre de réglage m .
Il calcule la moyenne des longueurs observées et ayant obtenu la valeur
x n = 23,63 il en conclut que, s’il est peu réaliste de croire que la valeur de m
est exactement 23,63 mm, elle doit malgré tout être très proche de cette valeur
moyenne observée sur l’échantillon. Il lui paraît raisonnable d’aboutir à une
conclusion de la forme « il y a 95 chances sur 100 que la valeur de m soit comprise entre 23,63 − a et 23,63 + b ». Le problème consiste alors à fixer des
valeurs précises pour a et b et on conçoit bien qu’elles doivent dépendre des
« chances » que l’on a attribué à cet intervalle de contenir effectivement la vraie
valeur de m . L’intervalle ainsi obtenu s’appellera intervalle de confiance et sa
probabilité qui a permis de le déterminer, niveau de confiance. La longueur de
cet intervalle sera bien sûr proportionnelle à ce niveau de confiance. On peut par
exemple toujours fournir un intervalle qui contient avec certitude le paramètre
en le choisissant suffisamment large ; mais dans ce cas, cet intervalle ne nous
renseigne en aucune façon sur la vraie valeur du paramètre. Il faut donc arriver
à un compromis entre un intervalle pas trop grand et une probabilité assez élevée de contenir le paramètre.
Pour une famille quelconque de lois de probabilité (P θ ; θ ∈ ) on peut donner la définition suivante.
Estimation 209
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
Définition
Un intervalle de confiance pour le paramètre θ , de niveau de confiance
1 − α ∈ ]0,1[ , est un intervalle qui a la probabilité 1 − α de contenir la vraie
valeur du paramètre θ .
A. Exemple introductif
Un industriel commande un lot de tiges métalliques qu’il ne peut utiliser que si
leur longueur est comprise entre 23,60 mm et 23,70 mm. Ces tiges ont été fabriquées par une machine qui, lorsqu’elle est réglée à la valeur m , produit des tiges
dont la longueur peut être considérée comme une v.a. X de loi normale
N (m,σ ) ,o ù l’écart type σ est une caractéristique de la machine, de valeur
connue, ici σ = 0,02 mm. Compte tenu de la symétrie de la distribution normale, la proportion de tiges utilisables par l’industriel sera maximale si le réglage a été effectué à m 0 = 23,65 mm. Ne connaissant pas cette valeur, à la réception d’un lot de tiges l’industriel prélève au hasard n tiges dont il mesure les longueurs X 1 ,...,X n pour se faire une idée de la valeur du paramètre de réglage m .
Il calcule la moyenne des longueurs observées et ayant obtenu la valeur
x n = 23,63 il en conclut que, s’il est peu réaliste de croire que la valeur de m
est exactement 23,63 mm, elle doit malgré tout être très proche de cette valeur
moyenne observée sur l’échantillon. Il lui paraît raisonnable d’aboutir à une
conclusion de la forme « il y a 95 chances sur 100 que la valeur de m soit comprise entre 23,63 − a et 23,63 + b ». Le problème consiste alors à fixer des
valeurs précises pour a et b et on conçoit bien qu’elles doivent dépendre des
« chances » que l’on a attribué à cet intervalle de contenir effectivement la vraie
valeur de m . L’intervalle ainsi obtenu s’appellera intervalle de confiance et sa
probabilité qui a permis de le déterminer, niveau de confiance. La longueur de
cet intervalle sera bien sûr proportionnelle à ce niveau de confiance. On peut par
exemple toujours fournir un intervalle qui contient avec certitude le paramètre
en le choisissant suffisamment large ; mais dans ce cas, cet intervalle ne nous
renseigne en aucune façon sur la vraie valeur du paramètre. Il faut donc arriver
à un compromis entre un intervalle pas trop grand et une probabilité assez élevée de contenir le paramètre.
Pour une famille quelconque de lois de probabilité (P θ ; θ ∈ ) on peut donner la définition suivante.
Estimation 209
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
Définition
Un intervalle de confiance pour le paramètre θ , de niveau de confiance
1 − α ∈ ]0,1[ , est un intervalle qui a la probabilité 1 − α de contenir la vraie
valeur du paramètre θ .