événements sont incompatibles, c’est-à-dire ne peuvent pas se réaliser simultanément, la probabilité de réalisation de l’un des deux sera la somme de leurs
probabilités respectives (par exemple pour un jet de dé P(1 ou 2) = P(1)
+P(2) = 1/6 + 1/6 = 1/3). D’où la définition suivante :
10 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
Définition
On appelle probabilité P sur (, A ) une application P : A → [0,1] telle
que :
(i) P(() = 1 ;
(ii) pour toute suite A n d’événements incompatibles, soit A n ∈ A avec
A m ∩ A n =∅pour m = n :
P
∞
n=0
A n
=
∞
n=0
P(A n )
propriété dite de σ – additivité.
Remarque
Pour toute suite d’événements quelconques, c’est-à-dire non disjoints, on
a l’inégalité de Boole :
P
∞
n=0
A n
∞
n=0
P (A n )
Une probabilité est donc une application qui à un événement va associer un
nombre. Le triplet (, A, P) s’appelle un espace probabilisé. Comme conséquences de la définition on déduit les propriétés suivantes.
Propriétés
P 1 L’événement impossible est de probabilité nulle :
P(∅) = 0
P 2 La probabilité de l’événement complémentaire d’un événement quelconque A s’obtient par :
P(A) = 1 − P(A)
P 3 Si un événement en implique un autre, sa probabilité est plus petite :
A ⊂ B ⇒ P(A) P(B)
P 4 La probabilité de l’union de deux événements s’obtient par la formule
de Poincaré :
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)