Cependant, certaines expériences peuvent se dérouler indéfiniment (au moins
théoriquement), comme par exemple lancer un dé jusqu’à obtenir le chiffre 6. Si
A n représente l’événement « obtenir le chiffre 6 au n-ème lancer », l’événement
« obtenir le chiffre 6 » s’écrira A =∪
∞
n=1 A n . On a donc besoin de renforcer la
propriété P 2 de fermeture pour l’union finie par une condition de fermeture pour
l’union dénombrable, soit :
– C 3 si A n ∈ A pour tout n ∈ N alors :
∞
n=0
A n ∈ A
condition qui exprime que toute union dénombrable d’événements est encore un
événement. L’ensemble A auquel on impose les conditions C 1 et C 3 s’appelle
alors une σ – algèbre ou tribu d’événements.
NB : On aurait pu remplacer dans la condition C 3 l’union par l’intersection (par passage au complémentaire l’union se transforme en intersection). Bien entendu toute algèbre finie est une σ – algèbre.
Cependant, dans les cas simples où est un ensemble fini, ou éventuellement infini dénombrable, on peut retenir comme tribu des événements P(()
tout entier. Ce n’est que dans les autres cas que l’on est amené à considérer des
ensembles A plus réduits que P(() qui est alors trop vaste. Le couple formé de
l’ensemble fondamental et de la tribu d’événements associée A s’appelle un
espace probabilisable. Cette terminologie signifie que l’on va pouvoir associer
une probabilité, notée P, à ce modèle (, A ).
C. Probabilité
Une fois défini l’ensemble des événements auxquels on s’intéresse, on va
essayer de traduire par un nombre leurs « possibilités » de réalisation. Cela
revient à affecter une mesure de « croyance » à chaque événement, c’est-à-dire
un degré de certitude que l’on a que l’événement se produise ou non. Afin de
correspondre à la notion intuitive, une probabilité sera un nombre associé à un
événement, compris entre 0 et 1, pour pouvoir se convertir en pourcentage de
« chances » ; l’événement certain se voit attribuer la probabilité 1 et l’événement impossible ∅ la probabilité 0. Nous verrons dans l’exemple 6.6 que cette
définition axiomatique est adaptée à la réalité, puisque la fréquence observée
d’un événement a pour limite sa probabilité ainsi définie. D’autre part, si deux
Notion de probabilité 9
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
. P 3 Si A j ∈ A pour 1 j n, on démontre également par passage au complémentaire que :
n
j=1
A j ∈ A
théoriquement), comme par exemple lancer un dé jusqu’à obtenir le chiffre 6. Si
A n représente l’événement « obtenir le chiffre 6 au n-ème lancer », l’événement
« obtenir le chiffre 6 » s’écrira A =∪
∞
n=1 A n . On a donc besoin de renforcer la
propriété P 2 de fermeture pour l’union finie par une condition de fermeture pour
l’union dénombrable, soit :
– C 3 si A n ∈ A pour tout n ∈ N alors :
∞
n=0
A n ∈ A
condition qui exprime que toute union dénombrable d’événements est encore un
événement. L’ensemble A auquel on impose les conditions C 1 et C 3 s’appelle
alors une σ – algèbre ou tribu d’événements.
NB : On aurait pu remplacer dans la condition C 3 l’union par l’intersection (par passage au complémentaire l’union se transforme en intersection). Bien entendu toute algèbre finie est une σ – algèbre.
Cependant, dans les cas simples où est un ensemble fini, ou éventuellement infini dénombrable, on peut retenir comme tribu des événements P(()
tout entier. Ce n’est que dans les autres cas que l’on est amené à considérer des
ensembles A plus réduits que P(() qui est alors trop vaste. Le couple formé de
l’ensemble fondamental et de la tribu d’événements associée A s’appelle un
espace probabilisable. Cette terminologie signifie que l’on va pouvoir associer
une probabilité, notée P, à ce modèle (, A ).
C. Probabilité
Une fois défini l’ensemble des événements auxquels on s’intéresse, on va
essayer de traduire par un nombre leurs « possibilités » de réalisation. Cela
revient à affecter une mesure de « croyance » à chaque événement, c’est-à-dire
un degré de certitude que l’on a que l’événement se produise ou non. Afin de
correspondre à la notion intuitive, une probabilité sera un nombre associé à un
événement, compris entre 0 et 1, pour pouvoir se convertir en pourcentage de
« chances » ; l’événement certain se voit attribuer la probabilité 1 et l’événement impossible ∅ la probabilité 0. Nous verrons dans l’exemple 6.6 que cette
définition axiomatique est adaptée à la réalité, puisque la fréquence observée
d’un événement a pour limite sa probabilité ainsi définie. D’autre part, si deux
Notion de probabilité 9
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
. P 3 Si A j ∈ A pour 1 j n, on démontre également par passage au complémentaire que :
n
j=1
A j ∈ A