la famille (par exemple, si on retient la famille des nombres impairs, elle n’est
pas stable pour l’addition puisque le résultat est un nombre pair). De plus, les
événements « certain », , et « impossible », ∅, doivent également appartenir à
cet ensemble. Ainsi, on associera à une épreuve aléatoire un ensemble non vide
de parties de , noté A, qui vérifiera :
– C 1 pour tout A ∈ A alors A ∈ A ;
– C 2 pour tout A ∈ A et tout B ∈ A alors A ∪ B ∈ A.
Il y a fermeture pour le complémentaire et l’union. Cet ensemble A s’appelle une algèbre de parties de . Bien entendu, grâce aux lois de Morgan, on a une
définition équivalente en remplaçant la condition C 2 par :
– C
′
2
pour tout A ∈ A et tout B ∈ A alors A ∩ B ∈ A.
Exemple 1.9
L’algèbre la plus élémentaire est réduite à A = {∅,,}.
Exemple 1.10
À partir d’un événement quelconque A, on peut constituer l’algèbre :
A =
∅, A, A,,
Exemple 1.11
On peut générer une algèbre à partir d’une partition. À partir de la partition de = {a, b, c, d} en trois ensembles {a, b} , {c} , {d} on construit
l’algèbre :
A = {∅, {a, b} , {c} , {d} , {a, b, c,} , {a, b, d} , {c, d} ,,}
avec card A = 2
3 .
Exemple 1.12
L’algèbre la plus complète est bien entendu P(() .
8 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
Propriétés d’une algèbre
P 1 La famille étant non vide, on en conclut que :
∅∈A,,∈ A
P 2 Si A j ∈ A pour 1 j n, on démontre par récurrence que :
n
j=1
A j ∈ A