• Cas où est fini
Si = {ω 1 ,...,ω n }, la donnée de n nombres p i , 1 i n, associés à chacun
des événements élémentaires par p i = P ({ω i }), tels que 0 p i 1 et
n
i=1
p i = 1 ,
suffit à déterminer une probabilité P sur (, P ()) par :
P(A) =
{ p i /ω i ∈ A}
c’est-à-dire que la probabilité d’un événement quelconque A de P () est définie comme la somme des probabilités de tous les événements élémentaires qui
y sont inclus.
• Cas particulier : équiprobabilité
Il s’agit d’un cas assez fréquent où tous les événements élémentaires ont la
même probabilité, ce qui correspond à la loi uniforme discrète définie par :
p i =
1
n
, 1 i n
Cette particularité est souvent sous-entendue ou précisée par l’affirmation
que les résultats de l’expérience sont obtenus au hasard. On obtient alors :
P(A) =
ω i ∈A
1
n
=
1
n
× card A =
card A
card
puisque n = card . Ce résultat s’énonce souvent sous la forme très dangereuse de la règle énoncée par Laplace au XVIII e siècle :
P(A) =
nbre de cas favorables
nbre de cas possibles
un cas favorable étant un événement élémentaire qui réalise A. On est alors
ramené à un simple problème de dénombrement. Mais il faut bien faire attention
que cette règle ne s’applique que dans le cas d’ équiprobabilité des événements
élémentaires. Si en jouant au loto il y a deux événements possibles, gagner ou
non le gros lot, il n’y a malheureusement pas une chance sur deux pour l’événement favorable qui est de le gagner ! Cette règle ne peut donc en aucun cas
servir de définition pour une probabilité.
Attention ! C’est ici qu’il est important de bien préciser l’ensemble fondamental . Si par exemple on lance deux pièces de monnaie identiques,
on pourrait être tenté de retenir comme ensemble fondamental
= {PP, PF, FF} mais dans ce cas il n’y aurait pas équiprobabilité des
événements élémentaires, car PP ou FF ne peut être obtenu que d’une
seule façon alors que PF peut être obtenu de deux façons distinctes, le
résultat pile pouvant être réalisé sur une pièce ou l’autre. Ces événements
ont donc respectivement comme probabilité 1/4, 1/4 et 1/2. Il vaut donc
mieux faire comme si les pièces étaient distinctes et retenir
= {PP, PF, FP, FF} où les événements élémentaires sont équiprobables.
Notion de probabilité 11
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
Si = {ω 1 ,...,ω n }, la donnée de n nombres p i , 1 i n, associés à chacun
des événements élémentaires par p i = P ({ω i }), tels que 0 p i 1 et
n
i=1
p i = 1 ,
suffit à déterminer une probabilité P sur (, P ()) par :
P(A) =
{ p i /ω i ∈ A}
c’est-à-dire que la probabilité d’un événement quelconque A de P () est définie comme la somme des probabilités de tous les événements élémentaires qui
y sont inclus.
• Cas particulier : équiprobabilité
Il s’agit d’un cas assez fréquent où tous les événements élémentaires ont la
même probabilité, ce qui correspond à la loi uniforme discrète définie par :
p i =
1
n
, 1 i n
Cette particularité est souvent sous-entendue ou précisée par l’affirmation
que les résultats de l’expérience sont obtenus au hasard. On obtient alors :
P(A) =
ω i ∈A
1
n
=
1
n
× card A =
card A
card
puisque n = card . Ce résultat s’énonce souvent sous la forme très dangereuse de la règle énoncée par Laplace au XVIII e siècle :
P(A) =
nbre de cas favorables
nbre de cas possibles
un cas favorable étant un événement élémentaire qui réalise A. On est alors
ramené à un simple problème de dénombrement. Mais il faut bien faire attention
que cette règle ne s’applique que dans le cas d’ équiprobabilité des événements
élémentaires. Si en jouant au loto il y a deux événements possibles, gagner ou
non le gros lot, il n’y a malheureusement pas une chance sur deux pour l’événement favorable qui est de le gagner ! Cette règle ne peut donc en aucun cas
servir de définition pour une probabilité.
Attention ! C’est ici qu’il est important de bien préciser l’ensemble fondamental . Si par exemple on lance deux pièces de monnaie identiques,
on pourrait être tenté de retenir comme ensemble fondamental
= {PP, PF, FF} mais dans ce cas il n’y aurait pas équiprobabilité des
événements élémentaires, car PP ou FF ne peut être obtenu que d’une
seule façon alors que PF peut être obtenu de deux façons distinctes, le
résultat pile pouvant être réalisé sur une pièce ou l’autre. Ces événements
ont donc respectivement comme probabilité 1/4, 1/4 et 1/2. Il vaut donc
mieux faire comme si les pièces étaient distinctes et retenir
= {PP, PF, FP, FF} où les événements élémentaires sont équiprobables.
Notion de probabilité 11
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.