I. Définition d’un estimateur
Nous allons introduire la notion d’estimateur à partir d’un exemple familier issu
des sondages qui, régulièrement, cherchent à connaître l’état de l’opinion
publique vis-à-vis du président de la République. Le modèle statistique que l’on
peut construire consiste à retenir comme ensemble l’ensemble des électeurs
français et à considérer le sous-ensemble A de ceux qui sont favorables au président de la République. La v.a. X associée sera alors la variable indicatrice de A ,
définie par :
X (ω) =
1s i ω ∈ A
0 sinon
196 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
Objectif du chapitre : montrer comment on peut, à partir d’observations
indépendantes d’un phénomène considéré comme aléatoire, attribuer une valeur, ou un ensemble de valeurs, à un (ou plusieurs)
paramètres qui caractérise(nt) la loi retenue pour le modèle.
Concepts clés étudiés : estimateur, biais, estimateur convergent, erreur
quadratique moyenne, vraisemblance, efficacité, information
de Fisher, méthode du maximum de vraisemblance, méthode
des moments.
disant que le modèle est identifiable. D’où le modèle statistique paramétrique (E,B,(P θ ; θ ∈ )) , où E = X () est l’ensemble des valeurs
possibles pour la v.a. X , ou espace des résultats (E ⊂ R ou R
p ) , et B la
tribu borélienne associée (famille des intervalles et des unions d’intervalles dans R ). Le problème initial du statisticien peut alors se reformuler sous la forme symbolique suivante :
(x 1 ,...,x n ) → θ?
et se nomme alors un problème d’estimation. Choisir une seule valeur du
paramètre θ est un problème d’estimation ponctuelle, choisir un sousensemble de , dénommé région de confiance, est un problème d’estimation ensembliste, d’estimation par intervalle dans le cas particulier,
assez fréquent, ou cette région est un intervalle de R . Ce type de problèmes sera résolu par la donnée d’une application T : E
n → F qui associera une (ou plusieurs) variable(s) aléatoire(s) à valeur(s) numérique(s)
F ⊂ R ou R
k
à un n -échantillon (X 1 ,...,X n ), application que nous
nommerons une statistique. Il s’agit du modèle d’échantillonnage noté
(E,B,(P θ ; θ ∈ ))
⊗n .
Nous allons introduire la notion d’estimateur à partir d’un exemple familier issu
des sondages qui, régulièrement, cherchent à connaître l’état de l’opinion
publique vis-à-vis du président de la République. Le modèle statistique que l’on
peut construire consiste à retenir comme ensemble l’ensemble des électeurs
français et à considérer le sous-ensemble A de ceux qui sont favorables au président de la République. La v.a. X associée sera alors la variable indicatrice de A ,
définie par :
X (ω) =
1s i ω ∈ A
0 sinon
196 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
Objectif du chapitre : montrer comment on peut, à partir d’observations
indépendantes d’un phénomène considéré comme aléatoire, attribuer une valeur, ou un ensemble de valeurs, à un (ou plusieurs)
paramètres qui caractérise(nt) la loi retenue pour le modèle.
Concepts clés étudiés : estimateur, biais, estimateur convergent, erreur
quadratique moyenne, vraisemblance, efficacité, information
de Fisher, méthode du maximum de vraisemblance, méthode
des moments.
disant que le modèle est identifiable. D’où le modèle statistique paramétrique (E,B,(P θ ; θ ∈ )) , où E = X () est l’ensemble des valeurs
possibles pour la v.a. X , ou espace des résultats (E ⊂ R ou R
p ) , et B la
tribu borélienne associée (famille des intervalles et des unions d’intervalles dans R ). Le problème initial du statisticien peut alors se reformuler sous la forme symbolique suivante :
(x 1 ,...,x n ) → θ?
et se nomme alors un problème d’estimation. Choisir une seule valeur du
paramètre θ est un problème d’estimation ponctuelle, choisir un sousensemble de , dénommé région de confiance, est un problème d’estimation ensembliste, d’estimation par intervalle dans le cas particulier,
assez fréquent, ou cette région est un intervalle de R . Ce type de problèmes sera résolu par la donnée d’une application T : E
n → F qui associera une (ou plusieurs) variable(s) aléatoire(s) à valeur(s) numérique(s)
F ⊂ R ou R
k
à un n -échantillon (X 1 ,...,X n ), application que nous
nommerons une statistique. Il s’agit du modèle d’échantillonnage noté
(E,B,(P θ ; θ ∈ ))
⊗n .