La loi de probabilité de X est donc connue, c’est la loi de Bernoulli B (1, p) ,
et le paramètre qui définit complètement le modèle est ici θ = p
= P (X = 1) = P(A) . La famille de lois de probabilité est donc
{B (1, p) ; p ∈ [0,1]} indexée par = [0,1] . Pour se faire une « idée » de la
vraie valeur de ce paramètre, on effectue un sondage en interrogeant n personnes tirées au hasard dans et on associe à chacune d’elles une variable de
Bernoulli X i ,1 i n , de même loi que X . Sans être statisticien, si on constate que 48 % des personnes interrogées sont favorables au président de la
République, on en déduira qu’environ un français sur deux y est favorable. En
langage courant, on dira que l’on « estime » la valeur de p à 48 %. Cette valeur,
calculée sur l’échantillon, est une estimation, cette fois en terme statistique, du
paramètre p , obtenue à partir de la fréquence empirique f n =
1
n
n
i=1
X i qu’on
appellera donc un estimateur de p .
Prenons un autre exemple. Supposons qu’avant de choisir un véhicule automobile on se fixe un critère de choix basé sur le nombre moyen N de pannes par
an que l’on est susceptible d’avoir avec un modèle donné. Ayant la possibilité de
faire une étude statistique chez un concessionnaire, on prélève au hasard n dossiers de véhicules et on note pour chacun le nombre N i ,1 i n , de pannes
subies la dernière année de mise en circulation. La loi de Poisson étant adaptée
pour modéliser le nombre de pannes, on retient ici la famille de lois
{P (θ) ; θ ∈ R + } . Le paramètre est ici la moyenne de la loi, i.e. θ = E(N ), donc
on estime sa valeur par la moyenne des valeurs observées sur l’échantillon, soit :
N n =
1
n
n
i=1
N i
Dans ces deux exemples, on a donc construit un modèle statistique où la v.a.X
suit une loi P θ et pour se faire une idée de la valeur inconnue du paramètre θ qui
détermine la loi de probabilité, on utilise un échantillon de cette loi. À partir des
valeurs observées x 1 ,. . . ,x n on calcule ensuite une certaine valeur numérique
que l’on considérera comme une valeur approchée de θ et qu’on appellera une
estimation de θ . La règle qui permettra d’effectuer ce calcul est un estimateur,
dont la définition précise est la suivante.
Estimation 197
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
Définition
Un estimateur de θ est une application T n de E
n dans F qui à un échantillon (X 1 ,...,X n ) de la loi P θ associe une variable aléatoire réelle (ou plusieurs dans le cas d’un paramètre multidimensionnel) dont on peut déterminer
la loi de probabilité.
La loi de la v.a. T n (X 1 ,. . . ,X n ) dépend de celle de X , et donc de θ , et chaque
réalisation T n (x 1 ,...,x n ) sera une estimation de θ . Cette définition est extrêmement générale et ne donne pas de méthode de construction d’un estimateur.
Cependant, comme nous l’avons vu sur les exemples introductifs, l’expression
et le paramètre qui définit complètement le modèle est ici θ = p
= P (X = 1) = P(A) . La famille de lois de probabilité est donc
{B (1, p) ; p ∈ [0,1]} indexée par = [0,1] . Pour se faire une « idée » de la
vraie valeur de ce paramètre, on effectue un sondage en interrogeant n personnes tirées au hasard dans et on associe à chacune d’elles une variable de
Bernoulli X i ,1 i n , de même loi que X . Sans être statisticien, si on constate que 48 % des personnes interrogées sont favorables au président de la
République, on en déduira qu’environ un français sur deux y est favorable. En
langage courant, on dira que l’on « estime » la valeur de p à 48 %. Cette valeur,
calculée sur l’échantillon, est une estimation, cette fois en terme statistique, du
paramètre p , obtenue à partir de la fréquence empirique f n =
1
n
n
i=1
X i qu’on
appellera donc un estimateur de p .
Prenons un autre exemple. Supposons qu’avant de choisir un véhicule automobile on se fixe un critère de choix basé sur le nombre moyen N de pannes par
an que l’on est susceptible d’avoir avec un modèle donné. Ayant la possibilité de
faire une étude statistique chez un concessionnaire, on prélève au hasard n dossiers de véhicules et on note pour chacun le nombre N i ,1 i n , de pannes
subies la dernière année de mise en circulation. La loi de Poisson étant adaptée
pour modéliser le nombre de pannes, on retient ici la famille de lois
{P (θ) ; θ ∈ R + } . Le paramètre est ici la moyenne de la loi, i.e. θ = E(N ), donc
on estime sa valeur par la moyenne des valeurs observées sur l’échantillon, soit :
N n =
1
n
n
i=1
N i
Dans ces deux exemples, on a donc construit un modèle statistique où la v.a.X
suit une loi P θ et pour se faire une idée de la valeur inconnue du paramètre θ qui
détermine la loi de probabilité, on utilise un échantillon de cette loi. À partir des
valeurs observées x 1 ,. . . ,x n on calcule ensuite une certaine valeur numérique
que l’on considérera comme une valeur approchée de θ et qu’on appellera une
estimation de θ . La règle qui permettra d’effectuer ce calcul est un estimateur,
dont la définition précise est la suivante.
Estimation 197
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
Définition
Un estimateur de θ est une application T n de E
n dans F qui à un échantillon (X 1 ,...,X n ) de la loi P θ associe une variable aléatoire réelle (ou plusieurs dans le cas d’un paramètre multidimensionnel) dont on peut déterminer
la loi de probabilité.
La loi de la v.a. T n (X 1 ,. . . ,X n ) dépend de celle de X , et donc de θ , et chaque
réalisation T n (x 1 ,...,x n ) sera une estimation de θ . Cette définition est extrêmement générale et ne donne pas de méthode de construction d’un estimateur.
Cependant, comme nous l’avons vu sur les exemples introductifs, l’expression