© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
7. Esti mation
D
ans les chapitres précédents, nous avions un modèle probabiliste
bien précis où la loi P de la v.a. X considérée était bien spécifiée.
Dans la réalité, nous disposons d’observations d’un modèle
inconnu et le travail du statisticien va consister à mettre en correspondance ces observations avec un modèle probabiliste. Le problème qui va
se poser au statisticien peut s’énoncer de la façon suivante : disposant
d’observations x 1 ,...,x n d’une certaine v.a. X associée au phénomène
étudié, obtenues à partir d’expériences aléatoires identiques et indépendantes, quelle loi théorique P inconnue peut-on retenir comme loi
parente, c’est-à-dire, quelle est la loi de probabilité associée à ce phénomène de production des données ? Ce qu’on peut symboliser sous la
forme suivante :
(x 1 ,...,x n ) → P?
Si ce choix devait être fait parmi l’ensemble P de toutes les lois de probabilité existantes, on conçoit bien que le problème serait difficile à
résoudre et qu’il faudrait un très grand nombre n d’observations pour y
parvenir ; le problème serait alors qualifié de non paramétrique. Compte
tenu d’informations a priori dont il dispose, le statisticien va restreindre
son choix à une famille donnée (P θ ; θ ∈ ) indexée donc par θ parcourant un ensemble bien déterminé. On suppose donc ici que la loi de
probabilité est parfaitement déterminée par la donnée d’un ou plusieurs
nombres
⊂ R ou ⊂ R
k
représenté(s) par θ que nous appellerons
paramètre de la distribution, étant l’ensemble des valeurs possibles du
paramètre. Si pour deux valeurs distinctes du paramètre il pouvait y avoir
coïncidence des lois de probabilité associées, les observations issues de
cette distribution ne permettraient pas de distinguer ces deux valeurs du
paramètre. Nous ferons donc l’hypothèse que pour θ = /θ
′ on a P θ = / P θ ′ ,
i.e. que l’application θ → P θ est injective, ce que nous traduirons en
Estimation 195
7. Esti mation
D
ans les chapitres précédents, nous avions un modèle probabiliste
bien précis où la loi P de la v.a. X considérée était bien spécifiée.
Dans la réalité, nous disposons d’observations d’un modèle
inconnu et le travail du statisticien va consister à mettre en correspondance ces observations avec un modèle probabiliste. Le problème qui va
se poser au statisticien peut s’énoncer de la façon suivante : disposant
d’observations x 1 ,...,x n d’une certaine v.a. X associée au phénomène
étudié, obtenues à partir d’expériences aléatoires identiques et indépendantes, quelle loi théorique P inconnue peut-on retenir comme loi
parente, c’est-à-dire, quelle est la loi de probabilité associée à ce phénomène de production des données ? Ce qu’on peut symboliser sous la
forme suivante :
(x 1 ,...,x n ) → P?
Si ce choix devait être fait parmi l’ensemble P de toutes les lois de probabilité existantes, on conçoit bien que le problème serait difficile à
résoudre et qu’il faudrait un très grand nombre n d’observations pour y
parvenir ; le problème serait alors qualifié de non paramétrique. Compte
tenu d’informations a priori dont il dispose, le statisticien va restreindre
son choix à une famille donnée (P θ ; θ ∈ ) indexée donc par θ parcourant un ensemble bien déterminé. On suppose donc ici que la loi de
probabilité est parfaitement déterminée par la donnée d’un ou plusieurs
nombres
⊂ R ou ⊂ R
k
représenté(s) par θ que nous appellerons
paramètre de la distribution, étant l’ensemble des valeurs possibles du
paramètre. Si pour deux valeurs distinctes du paramètre il pouvait y avoir
coïncidence des lois de probabilité associées, les observations issues de
cette distribution ne permettraient pas de distinguer ces deux valeurs du
paramètre. Nous ferons donc l’hypothèse que pour θ = /θ
′ on a P θ = / P θ ′ ,
i.e. que l’application θ → P θ est injective, ce que nous traduirons en
Estimation 195