pour x >θ.On calcule alors :
E (m n − θ)
2 =
+∞
θ
(x − θ)
2 ne
−n(x−θ) dx =
1
n 2
+∞
0
y
2 e
−y dy
=
Ŵ (3)
n 2 =
2
n 2 → 0
et par conséquent on en conclut que pour n →∞:
m n →
m.q.
θ
La f.r. de Y n est définie par :
H n (y) = P (Y n < y) = P
m n − θ<
y
n
= G n
θ +
y
n
et sa densité est donc :
h n (y) =
1
n
g n
θ +
y
n
= e
−y
pour y > 0 , c'est-à-dire que Y n suit la loi exponentielle de paramètre 1, indépendante de
n, et qui est donc aussi la loi limite de Y n .
Exercice n°12
Dans les deux cas, il s’agit d’une moyenne de v. a. qui vérifie les hypothèses du théorème central limite. Il nous suffit donc de calculer les deux premiers moments de ces v. a.
On a d’abord :
E(|X|) =
1
σ
√
2π
+∞
−∞
|x|e
−x 2 /2σ 2 dx = σ
2
π
+∞
0
e
−u du = σ
2
π
Et ensuite :
V (|X|) = E
X
2
− E
2 (|X|) =
1 −
2
π
σ
2
L’application du théorème central limite permet donc d’obtenir :
√
n
D n − σ
2
π
σ
1 −
2
π
− −−→
loi
N (0,1)
On a ensuite E(X
2 ) = σ
2 et comme X
2 /σ
2 suit une loi χ
2
1 on a aussi V (X
2 ) = 2σ
4 .
Ainsi :
√
n
S
2
n − σ
2
σ 2
√
2
− −−→
loi
N (0,1)
Exercice n°13
On vérifie d'abord que les v.a. Z n = e
Xn suivent une loi γ (1) . Nous appliquons ensuite le théorème central-limite à ces variables dont espérance et variance valent 1 :
√
n
Z n − 1
→
loi
N (0,1)
La suite étudiée est définie par Y n =−lnZ n et on utilise alors la propriété II-G avec
a n =
√
n et g (t) =−lnt qui nous permet d'obtenir :
√
nY n →
loi
N (0,1)
194 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS